文档介绍：数学教学课件
【课题】《定积分的应用》的单元复习
(1) 图中x为积分变量的阴影部分的面积微元为
错处: 窄条的近似高
在积分区间[-2,2]内,
<
故
错处: 中的面积微元
和缺少对称部分的面积
故
(2) 图中阴影部分的面积为
i)直角坐标系中图形的面积
平面图形面积计算法
(
)
x
f
(
)
x
f
(
)
y
f
(
)
y
j
ii)极坐标下平面图形的面积
【纠错导入复习】
指出下列作业中答案的错误之处,说明为什么,并纠正错误.
1、纠正作业错误
(3) 图中阴影部分绕Y轴旋转的体面积为
错处: 的积分限
故
错处: 非平面曲线求弧长公式
故
直角坐标曲线弧长公式
参数式曲线弧长公式
极坐标曲线弧长公式
旋转体体积
(4) 图中星形线在第一象限的全长为
{
3
3
cos
sin
t
a
x
t
a
y
=
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
2
1
,
2
a
2、复习要求
以上作业的错误,分析其产生的原因,有的是计算公式运用不当造成的,、系统回顾知识、巩固重要方法、提高运用能力等方面的教学,发挥复习对知识进行深化、精炼和概括的作用,帮助同学们明确单元中主要知识间的内在联系,能营造出知识结构;加深对定积分元素法的理解,明确什么条件下的量可以从具体问题表达为定积分, 并掌握把所求量I表示为定积分的方法和步骤;学会建立适当的坐标系来讨论和解决定积分元素法的运用问题,能综合运用相应的知识将实际问题化为数学问题,通过元素法写出积分形式后进行计算.
为此,提出几点要求:
1、对本章的复忆一遍的要求上,而要去努力思考新知识是怎样产生的?是如何展开的?其实质是什么?怎样应用它?等.
2、要通过讨论归纳出《定积分的应用》的知识结构, ,沟通知识间的内在联系,找出重点、关键,然后提炼概括,组成一个知识系统,从而形成或发展扩大认知结构.
3、在复习过程中要增強元素法运用规律的总结和提高迅速计算的能力.
【营造单元的知识结构】
前面几节课我们已经用定积分的元素法解决了许多问题,现在要问:
怎样理解定积分的元素法?
几何量、物理量定积分的表示与元素法之间的知识联系是怎样的?
本单元知识结构图如何构建?
如何正确地用定积分表达和计算一些几何量、物理量呢?
1、元素法与定积分几何意义之间知识联系的回顾
定积分几何意义
分析与说明
定积分的
元素法
2、定积分元素法的理解
对定积分元素法的理解:
(1)、元素法中的量I是可化为定积分的量,并且是在区间[a ,b]上变化的量.
注:在I微小的局部上,微区间[x ,x+dx]中的dx其长度很短,几乎为零.
(3)、运用元素法解决实际问题(如求量I)的关鍵是在I微小的局部上进行数量分析,寻找正确的元素表达式.
什么是定积分的元素法?
(2)、上述所求量I,若在[a ,b]内的任一小区间上,用“以直代曲、以不变代变”找到这个量I的微分(即I的元素表达式),则求I的问题可转化为计算定积分
定积分元素法的元素,是在微区间上用“以直代曲、以不变代变”替换后得到的,这里的与
相差一个比高阶的无穷小.
积分号实际是元素状态下的加法器, 表示从a处的dI加到b处的dI.
设一积分变量x在区间[a ,b] 上变化,把区间[a ,b]分成n个小区间,取其中任一小区间,求出这小区间上所求量ΔI 能近似地表示为[a ,b]上的一个连续函数在x处的值f (x) 与 d x 的乘积,就把 f (x) d x 称为量I的元素,记作d I. 即d I=f (x )d x .
所求量的元素 f (x) d x 在[a ,b] 上作定积分
得这种方法通常叫积分元素法.
3、具体问题导致定积分的条件
具体问题的量I能用定积分表示,必须具备两个特征:
I是一个与其变量x的变化区间[x ,x+dx]有关的量.
I对于区间[a ,b]具有可加性,即
由具体问题导致定积分的条件可知,除了曲边梯形的面积以外,像一些比较复杂的平面图形的面积、特殊的体积、平面弧长等几何量和变力所做功、液体侧压力等物理量也具备这种特性,所以它们也都能用定积分来表示.
4、可归结为定积分计算的量I表示为定积分的方法和步骤
(即用元素法解题的程序)
于是从而有
具体步骤是:
(1)建立坐标系;
(2)建立元素
(3)确定上、下限;
(4)计算定积分。
;
在[a ,b]的任一子区间上写出
5、几何量、物理量的定