文档介绍：立体几何中的向量方法(系统)
第一页，共74页。
l
A
P
１．直线的方向向量
直线ｌ的向量式方程
换句话说,直线上的非零向量叫做直线的
方向向量
一、方向向量与法向量
第二页，共74页。
2、
A1
x
D1
B1
A
D
B
C
C1
y
z
E
F
是BB1,，CD中点，求证：D1F
练****正方体
中，E、F分别
平面ADE.
证明：设正方体棱长为1，为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz，
所以
第二十九页，共74页。
A1
x
D1
B1
A
D
B
C
C1
y
z
E
F
是BB1,，CD中点，求证：D1F
练****正方体
中，E、F分别
平面ADE.
证明2：
第三十页，共74页。
,E是AA1中点，
例3 正方体
平面C1BD.
证明：
E
求证：平面EBD
设正方体棱长为2, 建立如图所示坐标系
平面C1BD的一个法向量是
E(0,0,1)
D(0,2,0)
B(2,0,0)
设平面EBD的一个法向量是
平面C1BD.
平面EBD
第三十一页，共74页。
证明2：
E
,E是AA1中点，
例3 正方体
平面C1BD.
求证：平面EBD
第三十二页，共74页。
A
B
C
D
P
X
Y
Z
G
练****br/>第三十三页，共74页。
　
立体几何中的向量方法
——夹角问题
第三十四页，共74页。
夹角问题：
l
m
l
m
第三十五页，共74页。
夹角问题：
l
l
第三十六页，共74页。
夹角问题：
第三十七页，共74页。
夹角问题：
第三十八页，共74页。
解1：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设则：
所以与所成角的余弦值为
例1
第三十九页，共74页。
解3、补形：
例1
解2
①补成长方体
②重一个同样的三棱柱
第四十页，共74页。
例：
的棱长为 1.
解1 建立直角坐标系.
A1
x
D1
B1
A
D
B
C
C1
y
z
E
F
例2
第四十二页，共74页。
例：
的棱长为 1.
解2
A1
x
D1
B1
A
D
B
C
C1
y
z
E
F
例2
第四十三页，共74页。
例3 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (3)求二面角C-PB-D的大小。
A
B
C
D
P
E
F
第四十四页，共74页。
例3 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是
正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的
中点，作EF⊥PB交PB于点F. (3)求二面角C-PB-D
的大小。
A
B
C
D
P
E
F
X
Y
Z
平面PBC的一个法向量为
解1 如图所示建立
空间直角坐标系，设DC=1.
平面PBD的一个法向量为
G
第四十五页，共74页。
练****br/>的棱长为 1.
解1 建立直角坐标系.
A1
x
D1
B1
A
D
B
C
C1
y
z
平面PBD1的一个法向量为
平面CBD1的一个法向量为
第四十九页，共74页。
的棱长为 1.
解2
A1
D1
B1
A
D
B
C
C1
第五十页，共74页。
　
立体几何中的向量方法
——距离问题
第五十一页，共74页。
距离问题：
(1) A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), 则
第五十二页，共74页。
距离问题：
(2) 点P与直线l的距离为d , 则
第五十三页，共74页。
距离问题：
(3) 点P与平面α的距离为d , 则
d
第五十四页，共74页。
距离问题：
(4) 平面α与β的距离为d , 则
m
D
C
P
A
第五十五页，共74页。
例1 如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点