文档介绍：第一章复数及复立
一、基本概念和主要结果:
.复数域及复平面:
规定I=Hr.
且数集C{二|二=r+i4,I,〃eR1},则实数集我uC
、乘、除运兜，给发数集一个代数结构，刈且数集成为发数域(可看成是实数域民扩2“4炉+2：'之值.
解:z3-l=(z-l)(z2+z+l)9由已知z2+z+l=0,故科一1=0即Z是一个三次单位根
从而31==：'=1■因此Z”+而+Z：’=Z-+Z+I=0.
+好+…+2”】的值.
—2”
解：Wzri=1,2/1>则1+:+/+…+:"I=__0.
证明：若z是实系数方程%w"+a1Hl+,・・+q1tv+a”=0的根,则丁也是其根.
证：囚:「E意口然数H,4-二人乂囚为〃，为勺、数13，户=%
山己知2为力程'9"Il・T〃…〃”〃，=。的机所以，为”1%二”】十・・・+*/卜4,=0
对上式两端同时取其加运算，得(0=0)
Qc”+••・+/j?+《=0
fa,=()即三也是aowrr4atwn】+,・,[%Ian=0的根.
HIco«伊-jsin。表示cosbff.
解：<<h5W=Rc(ros5"+isin5^)=R('(c<)«^+isinW))5=Rc«PsS"+5iJ-10c(H3^sin?^
lOicxj82^siii3(?+5co6^sin40+isin5/5)d-Wcxjs3^sin2(?+5cosOsin4theta,
同时也司到：sin5058b"8sin。-10ro“Osii产〃+sin"G.
若9#),试证明
1+cos0+cos204---FcosjiO二
Z1八85g-cos
sin0Isin"+・・•卜用“-
2<in
证:令z=cok〃+isi”-zn—cos7;^+isinnff
乂因为1+z+z2+…zn=——
1-z
1—lcos(n+1)0+isin(n+1)^1
U|l1+cos0+is\n0)+(cos2Z/+isin2〃)dF(cosnU+isiniiO}-
-(cos。+isin〃)
从而(1+cos。+cos2〃4FcosnO]+i；sin。+sin%+・・・+sinnb)
/(仍
(1COrtH)2卜疝F"
2(1-cosO)4sin2-
|1—(cos(n+1附+isin(n+1j^)](l—cos。+isin。)f{0)
sin5|sin(n卜；；)d
2sin1
」Ql"'C)=[1cos(7i16(1cos^)4sin(7iM)^sin^fiIsinl9(l-cos(nf(1cosO)sin(n|1)^|整理后即可得
+cos0+cos2。+・・・+cosnf)=Re
〃a△,f/(8)1?os^-cos(〃+!)6
sin0+sin20+•••+sinnOIm<->==&=——.
(4sin2fj2sin§
生方=(i'i..・・・上1i.…13iRE的聚点•其余各点均为孤立点.
I23nJ
集£*=(三+-,"+?i，：+-i।,+ri•••>中每一点都是E的孤立点9I+i
[223243nn-1
是它的聚点但不属于E.
满足条件0<arg(c1)<^,2<Rez<3的点z所组成的点集是什么？
解：如图的阴影部分，是有界单连通区域
110法足条件。<呷Hi<；的点2所组成的点集是什么?
解：因
山己知
十匕2+(〃+于
■，n[:
/+5+1产/+s+i)2
>0利0<
-24
x2+6-I
(N+>1
整理后，得《工<。
I(x+l^+y2>(v^)2
所求的点集足(，+1/+〃2=2的外部“4/半中血的所仃点组成的集介，是单连通尢界M域.
第二章复变函数
本卓用微分方法研究复变函数.
一、基本概念和主要结果：
定义2」设E是发平面H上的点集,如果仃•个法则/,使得VN=i+ij/£E,jutri+ireC【对应，则称/是E上确定的互变函数.
注：山二”()+iu()(E)={f(z}\xeE}为函数/(』)的象集，如果f是E处A的一个双射，则E和A是一彳对应.
/(z)在集E上确定，7是E的一个聚点，。是一个夏耕数，如果V£>(e)>
,1/g)--I<5，则称n是函费f(z)%T趋近于兀时的极限,记为
lirn/(2)=«.
"%
注:令八=〃|zWE,/(z)=="(或#)+i2=z+i",q=%+i%,丁是仃下列知论：
妈/⑶="zeE
<=>bin〃(/•1/〕=