5[1].2矩阵的相似.pdf

文档介绍：: .
于特征

值λ的特征向量.
〖证〗因为Aα = λα,且所B = PAP−1 , 以,

= −− 11 APBP ,
从而,
BP()−−11α === P ()()(), Aαλαλα P − 1 P − 1
即是P−1α B对应于λ的特征向量.
数学科学学院 徐鑫2008年11月1日星期六
易验证对角阵对角阵 ⎛⎞λ1
⎜⎟
Λ=⎜⎟λ2
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠λn
具有下列性质：
① λ12,,,λλ
n为Λ的特征值；

k
⎛⎞λ1
⎜⎟k
k ⎜⎟2
② Λ= λ
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟k
⎝⎠λn
数学科学学院 徐鑫2008年11月1日星期六
三、方阵相似于对角阵三、方阵相似于对角阵——方阵对角化问题方阵对角化问题
问题问题 对n阶方阵A，寻求相似变换阵P，使
PAP−1 =Λ
为对角阵。
定理定理11 n阶方阵A相似于对角阵的充要条件是A

有n个线性无关的特征向量。
〖证〗必要性必要性：设A相似于对角阵Λ，即存在
可逆阵P满足
PAP−1 = Λ=,,即 APPΛ
数学科学学院 徐鑫αα α 2008年11月1日星期六
令 ⎛⎞λ1
⎜⎟
2
P =Λ=(),,,
, ⎜⎟λ
12 ⎜⎟
⎜⎟
从而， ⎝⎠λn
(AAαα12,,, α
An )= AP = PΛ
= (λ11αλα,,,, 2 2
λαnn)
于是有：
Aαiii=λα (1,2,,).in=
由此可得：λ i是A的特征值，而相似变换矩阵P的
α
列向量 i是A的对应于特征值 λ i 的特征向量。
数学科学学院 徐鑫 : .
2008年11月 1日星期六
§2 矩阵的相似
一、概念一、概念
定义定义11 设A,B均为n阶方阵