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时间序列分析时间序列
§ 时间序列的分解
：
时间序列：按时间次序排列的随机变量序列。
是独立序列时，称是独立白噪声；
当时，称为零均值白噪声；
当称为标准白噪声。
Poisson过程和Poisson白噪声
如果连续时的随机过程满足
（1），且对任何的t>s≧0和非负整数k，
（2）{N(t)}有独立增量性：对任何n>1和
随机变量
相互独立，则称{N(t)}是一个强度为λ的Poisson过程。
数学期望和方差分别为
Poisson白噪声
定义：
满足上面三个条件称为Poisson白噪声。
ave 表示的样本均值，std表示样本的标准差。
下面的例子是Poisson白噪声的60个样本。
Poisson白噪声的60样本的产生
1. 随机产生服从(0,1)上均匀的200个样本:
2. 给出服从参数为1的指数分布的200个独立样本;
3. 给出参数为1的Poisson过程一条样本轨道在i=1,…,61上的取值；
参数为1的Poisson白噪声的60个样本I
样本II
标准正态白噪声的60个样本: A=randn(1,60)；plot(A)

设X和Y是方差有限的随机变量，如果E(XY)=0，就称X和Y是正交的，如果c o v(X,Y）=0，就称X和Y是不相关的。
定义对于平稳序列和，
（1）如果对任何的 s, t∈ Z, ，则称和
是正交的；
（2 ）如果对任何的 s, t∈ Z，，则称和
是不相关的。
设和分别是平稳序列和的自协方差函数，
记定义
（1）如果和正交，则是平稳序列，有自协方差函数

（2）如果和不相关，则是平稳序列，有自协方差函数

证明：（1）当和正交，利用cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)得到

（2）由上面的推导得到。
§ 线性平稳序列和线性滤波

定义：设是WN(O, )，对于非负整数q和常数a0,a1,…aq,我们称
是白噪声的（有限）运动平均，简称为MA，运动平均又称
滑动平均。
MA的平稳性
例：
概率极限定理：
定理（单调收敛定理）如果非负随机变量序列单调不减：
则当时，有
对于任何时间序列，利用单调收敛定理得到
定理（控制收敛定理）如果随机变量序列满足和时，则当时，并且
二. 线性平稳序列
定义：如果实数列满足则称是绝对可和的。
对于绝对可和的实数列，定义零均值白噪声的无穷滑动和
如下，则是平稳序列。下面说明是
平稳序列。
由 Schwarz不等式得到
，。

由于所以用控制收敛定理得到
现对t,s ∈Z，定义
利用公式可以知道

所以由控制收敛定理得到
这就说明了是平稳序列
证明：当时
定理：设是WN(0， ),实数列平方可和，线性平稳序列由上述
定义，则自协方差函