文档介绍：(全)根本不等式应用-利用根本不等式求最值的技巧-题型分析1
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根本不等式
一．根本不等式
1.〔1〕假设，那么 (2)假设，那么〔当且仅当时取“=〞〕
2. (1)假设，那么出含有〔x＋1〕的项，再将其别离。
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当,即时,〔当且仅当x＝1时取“＝〞号〕。
技巧四：换元
解析二：此题看似无法运用根本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在别离求最值。
当,即t=时,〔当t=2即x＝1时取“＝〞号〕。
评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用根本不等式来求最值。
技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，假设遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性。例：求函数的值域。
解：令，那么
因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。
因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。
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所以，所求函数的值域为。
练****求以下函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.
〔1〕〔2〕 (3)
2．，求函数的最大值.；3．，求函数的最大值.
条件求最值
，那么的最小值是 .
分析：“和〞到“积〞是一个缩小的过程，而且定值，因此考虑利用均值定理求最小值，
解：都是正数，≥
当时等号成立，由及得即当时，的最小值是6．
变式：假设，,y的值
技巧六：整体代换：屡次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否那么就会出错。。
2：，且，求的最小值。
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错解：，且，故。
错因：解法中两次连用根本不等式，在等号成立条件是，在等号成立条件是即,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用根本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。
正解：，
当且仅当时，上式等号成立，又，可得时，。
变式：〔1〕假设且，求的最小值
(2)且，求的最小值
技巧七、x，y为正实数，且x 2＋＝1，求x的最大值.
分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤。
同时还应化简中y2前面的系数为， x＝x
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＝x·
下面将x，分别看成两个因式：
x·≤＝＝即x＝·x ≤
技巧八：a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝的最小值.
分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或根本不等式求解，对此题来说，这种途径是可行的；二是直接用根本不等式，对此题来说，因条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用根本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。
法一：a＝， ab＝·b＝
　　　由a＞0得，0＜b＜15
　　　令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝－2〔t＋〕＋34∵t＋≥2＝8
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　　　∴ ab≤18 ∴ y≥ 当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。
法二：由得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥2 　∴ 30－ab≥2
　　　令u＝　那么u2＋2u－30≤0，－5≤u≤3
　　　∴≤3，ab≤18，∴y≥
点评：①此题考查不等式的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由不等式出发求得的范围，关键是寻找到之间的关系，由此想到不等式，这样将条件转换为含的不等式，进而解得的范围.
变式：>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。
，求它的面积最大值。
技巧九、取平方
5、x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝＋的最值.
解法一：假设利用算术平均与平方平均之间的不等关系，≤，此题很简单
　＋ ≤＝＝2
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解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用根本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值〞条件靠拢。
W＞0，W2＝3x＋2y＋2·＝10＋2·≤10＋()2·()2 ＝10＋(3x＋2y)＝20
　　∴ W≤＝2
变式: 求函数的最大值。
解析：注意到与的和为定值。
又，所以
当且仅当=，即时取等号。故。
评注：此题将解析式两边平方构造出“和为定值〞，为利用根本不等式创造了条件。
总之，我们利用根本不等式求最值