文档介绍：邢台学院物理系
《自动控制理论》 课程设计报告书
设计题目：二阶系统的性能指标分析
专 业: 自动化
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学 号：
指导教师：
20过阻尼情况时，系统的阶跃响应为单调的指数曲线：
-S1t -S2t
C(t) =1 + . n (e e ) (t >0) (2-11)
2 . 2 -1 S1 S2
式中 Si =(£+“♦ -1咻；S2 =(—J? -1叫 ；
当E远大于1时，可忽略-Si的影响，则
(t>0)
(2—12)
_(三 2t2 _1) ,nt
C(t) ( ') nt
这时调节时间ts近似为: s
ts
4
(2—13)
-V 2 -1) 1n
图2—2二阶系统阶跃输入下的动态响应
图2— 3是图2— 1的模拟电路及阶跃信号电路图
图2 —3二阶系统模拟电路图
开环传递函数为
G(S) 10—
0,1S 1
500
S(S 10)
其中 an = J500 % 22；
10
2 500
: 2 4
常见二阶系统结构图如图 函数为
3- 6所示其中K, T为环节参数。系统闭环传递
，,、 K
：'J (s)二一2
T〔s2 s K
化成标准形式
力⑸
-2
(tr
i型)
C（3）
(3-5)
T2s2 2T s 1
（尾
1型)
图土6第见二阶系统结构图
(3-6)
式中，T =
Hl
2 KT1
J 6n分别称为系统的阻尼比和无阻尼自然频率，是二阶系统重要的特征
参数。二阶系统的首1标准型传递函数常用于时域分析中，频域分析时则常用尾 1标准型。
二阶系统闭环特征方程为
D（s） =s2 2 ,ns 2 =0
其特征特征根为
11,2 - - - n - ■ 1 n -- 2 -1
若系统阻尼比之取值范围不同，则特征根形式不同，响应特性也不同，由此可将
二阶系统分类，见表3-3。
表3-3二阶系统(按阻尼比t)分类表
分类
特征根
特征根分布
过阻尼
兀,2 — ―~®n ±8 n 7 匕 11
妾1XI
k
w e
e以
-1
九 1,2 = -O n
L
e。’
临界阻 尼
上
1°
te3
0 <U <1
XIX "
e%t sinj 1 - E2s nt
九 1,2 =一七6n ± j«nV1-^2
一
欠阻尼
°
e^t cos』-C nt
0 =0
零阻尼
。2 = ±j 6 n
T
决1 竟
sin® nt
cos® nt
数学上，线性微分方程的解由特解和齐次微分方程的通解组成。 通解由微分
方程的特征根决定，代表自由响应运动。如果微分方程的特征根是 九1,%,…，九n 且无重根，则把函数e^, e，"…，e'nt称为该微分方程所描述运动的模态，也 叫振型。
如果特征根中有多重根 九，则模态是具有te% t2e%,…形式的函数。
如果特征根中有共腕复根九=仃± js ,则其共腕复模态e(®瓢与e(s如可写 成实函数模态e®sin^ t与e%os61。
每一种模态可以看成是线性系统自由响应最基本的运动形态， 线性系统自由
响应则是其相应模态的线性组合。
过阻尼二阶系统动态性能指标计算
设过阻尼二阶系统的极点为
(Ti T2)
系统单位阶跃响应的拉氏变换
C(s) =：> (s)R(s)=
1
(s 1 T1)(s 1 T2) s
t _0
进行拉氏反变换，得出系统单位阶跃响应
h(t) = 1 ----
-2 -1 1
Ti -2
(3-7)
过阻尼二阶系统单位阶跃响应是无 振荡的单调上升曲线。根据式(3-7), 令T1/T2取不同值，可分别求解出相应的 无量纲调节时间ts/Ti ,如图3-7所示。 图中U为参变量，由
s2 2 "S =(s 1 Ti)(s IT2)
可 解 出
图3-7过阻尼二阶系统的调户时间特卜(T11T2)
一 2 J T2
当T1/T2 (或很大时，特征根九2
=—1/丁2比九=—1几 远离虚轴，模态e*T2
很快衰减为零，系统调节时间主要由 % = -1/T1对应的模态eq'T1决定。此时可将
过阻尼二阶系统近似看作由 ％确定