文档介绍：第十三章曲线积分与曲面积分
定积分和重积分是讨论定义在直线段、
在实际问题中，这些还不够用，例如当我们研究受力质点作曲线运动时所作的功以及通过某
曲面流体的流量等问题时， 还要用到积分区域是平面')时，
n n
f(Xi,yi) s f( ( i''), ( i'')), ’2( i') '2( i'2) ti,
i i i i
这里 ti i i', i''
n . • . 一
f( (i'′), (i''))[ . ’2(i') '2( i') .. ’2( i'') '2 (i'')] ti
i i
则有 n n
f(Xi,yi) si f( ( i'′), ( i''))\ '2( i'') '2( i'') ti .
i i i i
令 t max{ t1, t2,|||, tn),要证明的是 limo 0.
因为复合函数f( (t), (t))关于t连续，所以在闭区间［,］上有界，即存在 M ,对 一切t ［,］有
|f( (t), (t)) | M.
再由J '2(t) 河在［,］上连续，所以它在［,］ 0,必
存在 0,当t 时有
I \ '2( J)~~'2( 一 ~~T51 .
从而 n
I I M ti M ( ).
i 1
所以
lim 0. t 0
再从定积分定义得 n
litm° f( ( i''), ( i''))-, '2( i'') '2( i'') ti
i 1
f( (t), (t))、.^~~^］dt.
n n ,
所以当 f (xi,yi) si f ( (J), ( i'')" '2( i'') '2( i'') ti 两边取极限后，即
i 1 i 1
得所要证的结果.
特别地，如果平面上的光滑曲线的方程为
y y(x), a x b, 则 b 2
L f x, y ds @ f x, y x41 y' x dx .
例 计算曲线积分 J；yds,其中L是抛物线y x2上的点A 0,0与点B 1,1之间的一
段弧.(如图)
图 13-2
解：积分曲线由方程
给出，所以
r
「yds
y x2, x 0,1
01 X2 1 X2'2dx
x . 1 4x2dx
0
11 4x2 1=1
12 0 12
例计算积分n x2
ds,其中L为圆周：
asint, y a cost, 0 t 2 .
解：由于L为圆周:
asint, y acost,0
n
ds
2
2
a sint
0
2
a cost
a2 cos21 a2 ( sint)2dt
2
a2ndt 2
0
2n a
对于三元函数的对弧长的曲线积分,
：若曲线
L由参数方程
x x t , y y t , z z t ,
确定，则有ds J/1一产―z'2 t dt ,从而
f x, y, z ds f x t , y t , z t
L
、：x'2 t y'2 t z'2 t dt .
例13. 3 计算曲线积分 x2 y2
z2 ds,其中 是螺旋线 x a cost, y a sint,
z kt上相应于t从0到2的一段弧.
解：由上面的结论有
2 2 ,
y z ds
,2
a cost
. , 2
a sin t
2 2 2 2
kt , a sin t a cost k dt
2 .
a kt .a
k2dt
2 .22
a k 3a
例 计算iX2ds,其中L为球面x2 y2
z2 a2被平面x y z 0所截得的圆周
解：由对称性可知
2 . 2 ■ 2 .
LXds LydS Lzds，
所以
x2ds
L
2 o
2 2 a 2 _3
y z )ds — ds - a .
3 L 3<br****题
中心角为2的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量
I （设线密度
1)
.计算曲线积分 （x2 y2 z2）ds,其中
上相应于t从0到2的一段弧.
.计算°ye xdS,其中C为曲线x ln（1 的一段弧.
2 2
.求 xydS,其中L是椭圆周 三 4
L a2 b2
.计算_y^dS ,其中L为曲线x2
为螺旋线 x a cost , y asint , z kt
2、
t ), y 2arctgt t 3 由 t 0 到 t 1 间
1位于第一象限中的那部分。
y2 2y.
. _ .，1 一一