文档介绍：空间与图形知识拓展
第1页，共132页，2022年，5月20日，2点13分，星期六
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浙江外国语学院蒋志萍
欧氏几何
直观几何
非欧几何
几何分形
空间与图形知识拓展
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五条公设
；
　　(有限直线)可以无限地延长；
　　,任意长为半径,可作一圆；
　　；
　　，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。
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《几何原本》共有十三卷
第一卷几何基础　第二卷几何与代数
第三卷圆与角第四卷圆与正多边形
第五卷比例第六卷相似
第七卷数论（一）　　第八卷数论（二）
第九卷数论（三）　　第十卷无理量
第十一卷立体几何　　第十二卷立体的测量
第十三卷建正多面体
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第一卷：几何基础重点内容有三角形全等的条件，三角形边和角的大小关系，平行线理论，三角形和多角形等积（面积相等）的条件，第一卷最后两个命题是毕达哥拉斯定理的正逆定理；
第二卷：几何与代数讲如何把三角形变成等积的正方形；其中12、13命题相当于余弦定理。
第三卷：圆与角阐述圆，弦，切线，割线，圆心角，圆周角的一些定理。
第四卷：圆与正多边形讨论圆内接和外切多边形的做法和性质；
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第五卷：比例讨论比例理论，多数是继承自欧多克斯的比例理论,被认为是"最重要的数学杰作之一"
第六卷：相似讲相似多边形理论，以此阐述了比例的性质
第七、八、九卷：数论讲述算术理论；
第十卷：无理量篇幅最大的一卷，讨论无理量（与给定的量不可通约的量），其中第一命题是极限思想的雏形。
第十一、十二、十三卷：立体几何讲述立体几何的内容.
　　从这些内容可以看出，目前中学课程里的初等几何的主要内容已经完全包含在《几何原本》里了。
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公理化方法
指在一个理论体系中尽可能少地选取一组原始概念和一组不加证明的基本公理，以此为出发点并运用纯逻辑推理法则，把该系统建成一个演绎体系的方法
发展历史
欧几里德产生
罗巴切夫斯基、黎曼半形式化
希尔伯特形式化纯形式化
哥德尔不完备性定理（ 1931 ）
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公理化方法的基本内容
(1)选择基本概念
基本概念应当是该论域中最原始对象的最简单的思想规定。
点线面
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选择基本公理
公理是对基本概念之间相互关系的规定。
独立性
基本公理相容性
完备性
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欧几里德的《几何原本》诞生后，它统治了几何学2000余年，但对其持怀疑态度者也为数不少，最集中的怀疑点就是第五公设：
“当两条直线被第三条直线所截，如有一侧的两个内角之和小于两直角，则将这两条直线向该侧适当延长后必定相交。”
非欧几何
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怀疑的原因主要有两点，一是它远不如前面四条公设那样简单清楚，而是语句冗长，做含意不清；二是欧几里德本人也似乎尽量少用第五公设，直到第29个定理才用到它。
1795年，苏格兰的普雷菲尔提出了更为简明替代公设：“过直线外一点，有且只有一条直线与该直线平行。”这一公设也叫平行公设，它被普遍采用。
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1816年，俄国数学家罗巴切夫斯基首先提出了一个不同的假设：“过直线外上一点不止作一条直线与该直线不相交。”从这个假设出发，推导出一第列前后一贯的命题，构成了逻辑上没有矛盾，但与欧几里德几何完全不同的另外一种几何，他称之为“虚几何学”