785-第九章隐函数的求导方法.ppt

文档介绍：第九章
第五节
一、一个方程所确定的隐函数及其导数
二、方程组所确定的隐函数组及其导数
隐函数的求导方法
1) 方程在什么条件下才能确定隐函数.
例如, 方程
C < 0 时, 能确定隐函数
C > 0 时, 不能确定隐函数
2) 方程能确定隐函数时,
研究其连续性,可微性及求导方法问题.
本节讨论:
一、一个方程所确定的隐函数及其导数
定理1. 设函数
则方程
单值连续函数 y = f (x) ,
并有连续
(隐函数求导公式)
定理证明从略,仅就求导公式推导如下:
①具有连续的偏导数;
的某邻域内可唯一确定一个
在点
的某一邻域内满足
②
③
满足条件
导数
两边对 x 求导
在
的某邻域内
则
若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,
二阶导数:
则还可求隐函数的
例1. 验证方程
在点(0,0)某邻域
可确定一个单值可导隐函数
解: 令
连续;
由定理1 可知,
①
导的隐函数
则
②
③
在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可
且
并求
两边对 x 求导
两边再对 x 求导
令 x = 0 , 注意此时
导数的另一求法
—利用隐函数求导
定理2 .
若函数
的某邻域内具有连续偏导数;
则方程
在点
并有连续偏导数
定一个单值连续函数 z = f (x , y) ,
定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:
满足
①在点
满足:
②
③
某一邻域内可唯一确
两边对 x 求偏导
同样可得
则
例2. 设
解法1 利用隐函数求导
再对 x 求导