文档介绍：第四章李雅普诺夫稳定性理论
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,李氏第二法。

初始条件扩展到整个空间，且是渐近稳定性。
线性系统(严格)：如果它是渐近稳定的，必
是有大范围渐近稳定性(线性系统稳定性与初
始条件的大小无关)。
非线性系统：只能在小范围一致稳定，由状
态空间出发的轨迹都收敛或其附近。
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当与无关大范围一致渐近稳定。
必要条件：在整个状态空间中只有一个平衡状态
不稳定性：不管，有多小，只要
内由出发的轨迹超出以外，则称此平衡状态是不稳定的。
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线性系统的平衡状态不稳定表征系统不稳定。
非线性系统的平衡状态不稳定只说明轨迹离开了S(），这说明平衡状态是不稳定的。然而却不能说明轨迹将趋于无穷远处，这是因为轨迹还可能趋于在S(）外的某个极限环,若存在极限环，则系统仍是李雅普诺夫意义下的稳定。
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（a）稳定平衡状态及一条典型轨迹
（b）渐近稳定平衡状态及一条典型轨迹
（c）不稳定平衡状态及一条典型轨迹
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李雅普诺夫第一法（间接法）
利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。
线性定常系统稳定性的特征值判据：
1）李雅普诺夫意义下的稳定的充要条件：

2）渐近稳定的充要条件：
3）不稳定的充要条件：
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非线性系统的稳定性分析
假定非线性系统在平衡状态附近可展开成台劳级数，可用线性化系统的特征值判据判断非线性系统的平衡状态处的稳定性。
设非线性系统状态方程：
在平衡状态附近存在各阶偏导数，于是：
--非线性函数
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其中：
--级数展开式中二阶以上各项之和
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上式为向量函数的雅可比矩阵。
令

则线性化系统方程为：
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结论：
若，则非线性系统在处是渐近稳定的，与
无关。
若 ,
则非线性系统不稳定。
若，稳定性与有关，

则是李雅普诺夫意义下的稳定。
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例4-2：已知非线性系统的状态方程为：
试分析系统在平衡状态处的稳定性。
解：
令
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可见非线性系统在平衡状态xe1处不稳定。
不能确定非线性系统在平衡状态xe2处稳定性。
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李雅普诺夫第二法(直接法)
预备知识
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(x)不定: v(x) >0或V(x)<0 则 V(x) 是不定的。
如：
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，且它的所有主子行列式均非负，则
是正半定的。