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,李氏第二法。
。
重点内容:
李雅普诺夫第一、第二法的主要定义与定理,李雅普诺夫函数的构造。
线性定常系统与非线性系统稳定性定理与判别
李雅普诺夫方程,渐近稳定性的分析与判别。
教学要求:
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研究的目的和意义:稳定性是自动控制系统正常工作的必要条件,是一个重要特征。
要求:在受到外界扰动后,虽然其原平衡状态被打破,但在扰动消失后,仍然能恢复到原来的平衡状态,或者趋于另一平衡状态继续工作。
稳定性:系统在受到小的外界扰动后,系统状态方程解的收敛性,而与输入作用无关。
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经典控制理论稳定性判别方法:代数判据,奈魁斯特判据,对数判据,根轨迹判据
非线性系统:相平面法(适用于一,二阶非线性系统)
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1892年,俄国学者李雅普诺夫提出的稳定性定理采用了状态向量来描述,适用于单变量,线性,非线性,定常,时变,多变量等系统。
应用:自适应控制,最优控制,非线性控制等。
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主要内容:
李氏第一法(间接法):求解特征方程
的特征值
李氏第二法(直接法):利用经验和技巧来构造李氏函数
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:输入为0的系统=Ax+Bu(u=0)
=f(x,t)的解为
初态
:
系统的平衡状态

A非奇异:
A奇异:有无穷多个
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可能有多个
例4-1:
令
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孤立的平衡状态:在某一平衡状态的充分小的邻域内不存在别的平衡状态。
对于孤立的平衡状态,总可以经过适当的坐标变换,把它变换到状态空间的原点。
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如果对每个实数都对应存在另一个实数满足
的任意初始态出发的运动轨迹
,在都满足:
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则称是李雅普诺夫意义下稳定的。
时变:与有关
定常系统:与无关,是一致稳定的。
注意:-向量范数(表示空间距离)
欧几里得范数。
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