文档介绍：圆锥摆θ(ω)关系问题的讨论
一、困惑
对于研究图1所示的圆锥摆力学问题时,由牛顿力学定律列出方程:
(1)
由此得出圆锥运动的θ(ω)关系为:
(2)
对于(2)式,当ω<时,在物理上是允许的,但从(2)式却得出>1这一数学上无意义的结果,确实使人费解、困惑。
二、解惑
由(2)式可见,当ω=时, ,即,而由(1)式得出(2)式的运算过程中,(1)式两边同除以,在的情况下,这是不允许的,这正是问题所在。
由上可推断,,即=1应该也是方程(1)的一个解,并且,由方程可见,,即=1对于任何ω值均成立。
由上分析可见,,即=1是圆锥摆θ(ω)关系中被疏漏的一个解。
三、θ(ω)关系之解的物理意义
综上所述,圆锥摆的θ(ω)关系就有如下解:
=1 ()
=1
= >
解的物理意义是:
(1)如果摆的角速度ω值不超过临界值ωc=,则摆球始终铅直悬挂着,并以ω旋转,摆的外形不呈圆锥状。
(2)如果摆的角速度ω值超过临界值ωc=,则理论上摆的运动有两种理解:
①出现 =1所描述的情况,摆球仍铅直悬挂着以ω旋转;
②出现 =所描述的情况,摆线与铅直方向夹
角旋转,外形呈圆锥状。
四、进一步讨论
然而在角速度ω值超过ωc=的情况下,却无法在实际中观察到情况①,而只能观察到情况②,这表明,当ω>ωc时,
=1这个解所对应的摆球铅直悬挂着旋转状态是不稳定的,一旦外界稍有扰动,摆球立即向外跃升,突变为 =这个解所对应的圆锥运动,而这一状态是稳定的,如图2所示,由于无法避免外微扰,实际中人们难以观察到与=1对应的不稳定状态,呈现在眼前的总是与 =对应的稳定状态。
安徽省庐江第二中学高二(2)班戴华
指导教师束义福