线性代数基础知识点.docx

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线性代数基础知识点
A可逆r(A)=n
A的列(行)向量线性无关
A的特征值全不为0
|A|丰0o<
Ax=
VpeRn,Ax=p总有唯一解
AtA是正定矩阵
A=pp…pp是初
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线性代数基础知识点
A可逆r(A)=n
A的列(行)向量线性无关
A的特征值全不为0
|A|丰0o<
Ax=
VpeRn,Ax=p总有唯一解
AtA是正定矩阵
A=pp…pp是初等阵
12si
存在n阶矩阵B,使得AB=E或AB=E
注注:全体n维实向量构成的集合Rn叫做n维向量空间.
A不可逆
r(A)<n
|A|=0o<A的列(行)向量线性相关
0是A的特征值
Ax=0有非零解,其基础解系即为A关于九=0的特征向量
r(aE+bA)<n
g|aE+bA|=oo<(aE+bA)x=0有非零解
九二—a
b
向量组等价
矩阵等价(仝)冃右匚白叶卄铮叶住寺叶““丄具有〉反身性、对称性、传递性矩阵相似(:)
矩阵合同(;)
称为in的标准基,in中的自然基,单位坐标向量;
e,e,…,e线性无关;
12n
|e,e,…,e|=1;
12n
trE=n;
任意—个n维向量都可以用丫分…,en线性表示.
a
a
L
a
11
12
L
1n
a
21
M
a
22
M
a
2n
M
a
n1
a
n2
L
a
nn
行列式的定义D
n
=工(_1)工(jj2L丿”)aaLaj1j2Ljn12n
V行列式的计算:
①行列式按行(列)展开定理:行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘
积之和.
A
O
A
*
O
B
O
B
O
A
*
A
B
O
B
O
AO
推论:行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.
②若A与B都是阵(不必同阶),则
=IA|B|
(拉普拉斯展开式)
=(_1)mn|A||B|
③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积
*
a
O
a
1n
1n
a
a
2n_1
=
2n_1
N
N
a
O
a
O
n1
n1
④关于副对角线:
=(_1)n(n2_1>
aaKa(即:所有
1n2nn1
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取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和)
矩阵的定义由mxn个数排成的m行n列的表
A=C)
ij
或Axmxnmxn
伴随矩阵|A*=(A)T=
j
(A
11
A
12
M
A
21
A
22
M
A)
n1
A
n2
M
IA1n
A
2n
A丿
nn
'a
a
L
a、
11
12
L
1n
a
a
a
21
22
2n
M
M
M
、a
m1
a
m2
L
a丿
mn
A=
称为mxn矩阵■记作:
A中各个元素的代数余子式.
1
1
L
1
x
x
L
X
1
2
L
n
x2
x2
X2
1
2
n
M
M
M
Xn_1
xn_1
L
Xn_1
1
2
n
⑤德蒙德行列式:
=n(x_x)
ij
1<j<i<n
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V逆矩阵的求法:
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A*
①A-1=冈
-1
ad一be(-c
主L
畐也
换位
变号
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②(AME)—初等行变换>(EMA-i)
(
"a
)
-1
+
i
a
=
a
十
2
a
2
(
a3丿
十
3
(
a丿
3
③
、
a)
-1
十
1
a3
a
=
十
2
a2
(a3
丿
十
3
(a
丿
1
V阵的幂的性质:AmAn=Am+n
(Am)n=(A)mn
"设A,B,A的列向量为,…,a,B的列向量为0,0,…,0,
mxnnxs
则AB=C
mxs
(a,a,…,a)
i2
(b
ii
b
21
M
b
i2
b
22
M
i2s
b、
is
b
2s
M
=(e,e丄,e)
2s
A0=e
ii
(bni
b
n2
b丿
ns
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Ax=e
i
(i=1,2,L,s)
丄,e)oe,e,L,e可由a,a,…,a线性表
i2si2n
oA(0,0,…,0)=(A0,A0,