文档介绍：从波函数到薛定谔方程
摘要:本文从波函数出发,阐述薛定谔的推导过程,并且根据哈特里福克方程,克莱因戈尔登方程完善薛定谔方程的泡利不相容原理,洛伦兹不变性。
关键词:波函数薛定谔方程哈特里福克方程克莱因戈尔登方程
:
微观粒子的运动状态称为量子态,是用波函数来描述的,这个波函数所反映的微观粒子波动性,这个波函数所反映的微观粒子波动性,就是德布罗意波。(量子力学的基本假设之一)并且,玻恩指出:德布罗意波或波函数不代表实际物理量的波动,而是描述粒子在空间的概率分布的概率波。
推导过程:
在波动学中,描述波动过程的数学函数都是空间、时间二元函数一列沿X轴正向传播的平面单色简谐波的波动方程,即:
应用欧拉公式,可以推广到复数域:
再通过德布罗意公式,可以得到自由粒子的波函数:
波函数性质
,其波函数所描述的德布罗意波是平面波。
,其能量和动量不是常量,其波函数所描述的
德布罗意波就不是平面波。
,粒子的运动状态及描述运动状态的波函数也不相同。
(3)波函数的统计假设
设描述粒子运动状态的波函数为,则
;
(概率密度)与
的模的平方成正比。
波函数统计意义的具备条件
- 因概率不会在某处发生突变,故波函数必须处处连续;
- 因任一体积元内出现的概率只有一种,故波函数一定是单值的;
- 因概率不可能为无限大,故波函数必须是有限的;
薛定谔方程:
,质量为m的粒子,在势能函数为的势场中运动,当其运动速度远小于光速时,它的波函数所满足的方程为:

这就是薛定谔方程,它反映微观粒子运动状态随时间变化的力学规律,又称含时薛定谔方程。
其中,为哈密顿算符。
,那么对应于一个可能态有一个能量值E,即可得到定态薛定谔方程:

。它的特点是其概率密度与时间无关。
:
(1)连续,单值,有限的标准条件
(2)归一化条件
(3)对坐标的一阶导数存在并且连续
。
哈特里-福克方程:
·哈特里在1928年提出了哈特里假设,他将每个电子看做是在其他所有电子构成的平均势场中运动的粒子,并且首先提出了迭代法的思路。哈特里根据他的假设,将体系电子哈密顿算子分解为若干个单电子哈密顿算子的简单代数和,每个单电子哈密顿算子中只包含一个电子的坐标,因而体系多电子波函数可以表示为单电子波函数的简单乘积,这就是哈特里方程。
,事实上他的方程还是有问题的。1930年,哈特里的学生弗拉基米尔·福克,提出了考虑泡利原理的自洽场迭代方程和单行列式型多电子体系波函数,这就是今天的哈特里—福克方程。
,在薛定谔没有解决的情况下,哈特里福克方程使得量子力学是满足泡利原理的。
4