文档介绍：《数学模型》作业解答
第二章(1)(2008年9月16日)
学校共1000名学生,235人住在A宿舍,333人住在B宿舍,,试用下列办法分配各宿舍的委员数:
(1). 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者;
(2). §1中的Q值方法;
(3).d’Hondt方法:将A、B、C各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,……相除,其商数如下表:
1 2 3 4 5
A
B
C
235 …
333 111 …
432 216 144 108
将所得商数从大到小取前10个(10为席位数),在数字下标以横线,表中A、B、C行有横线的数分别为2,3,5,?
如果委员会从10个人增至15人,用以上3种方法再分配名额,将3种方法两次分配的结果列表比较.
解:先考虑N=10的分配方案,
方法一(按比例分配)
分配结果为:
方法二(Q值方法)
9个席位的分配结果(可用按比例分配)为:
第10个席位:计算Q值为
最大,
方法三(d’Hondt方法)
此方法的分配结果为:
此方法的道理是:记和为各宿舍的人数和席位(i=1,2,3代表A、B、C宿舍).是每席位代表的人数,取从而得到的中选较大者,可使对所有的尽量接近.
再考虑的分配方案,:
宿舍
(1) (2) (3)
(1) (2) (3)
A
B
C
3 2 2
3 3 3
4 5 5
4 4 3
5 5 5
6 6 7
总计
10 10 10
15 15 15
试用微积分方法,建立录像带记数器读数n与转过时间的数学模型.
解: 设录像带记数器读数为n时,.
考虑到时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度,可得两边积分,得
第二章(2)(2008年10月9日)
,空气密度是,用量纲分析方法确定风车获得的功率与、S、的关系.
解: 设、、S、的关系为, 其量纲表达式为:
[P]=, []=,[]=,[]=,这里是基本量纲.
量纲矩阵为:
A=
齐次线性方程组为:
它的基本解为
由量纲定理得, , 其中是无量纲常数.
、粘滞系数和重力加速度有关,其中粘滞系数的定义是:运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比,比例系数为粘滞系数,用量纲分析方法给出速度的表达式.
解:设,,, 的关系为,,,=[]=LM0T-1,[]=L-3MT0,[]=MLT-2(LT-1L-1)-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1,[]=LM0T-2,其中L,M,T是基本量纲.
量纲矩阵为
A=
齐次线性方程组Ay=0 ,即
的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1)
由量纲定理得. ,其中是无量纲常数.
、粘滞系数、特征尺寸和重力加速度有关,其中粘滞系数的定义是:运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比,比例系数为粘滞系数,用量纲分析方法给出速度的表达式.
解:设,,,,
[]=LM0T-1,[]=L-3MT0,[]=MLT-2(LT-1L-1)-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1,[]=LM0T0 ,[]=LM0T-2
其中L,M,T是基本量纲.
量纲矩阵为
A=
齐次线性方程组Ay=0 即
的基本解为
得到两个相互独立的无量纲量
即. 由, 得
, 其中是未定函数.
,即在单摆运动中考虑阻力,,然后讨论物理模拟的比例模型,即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期.
解:设阻尼摆周期,摆长, 质量,重力加速度,阻力系数的关系为
其量纲表达式为:
, 其中,,是基本量纲.
量纲矩阵为
A=
齐次线性方程组
的基本解为
得到两个相互独立的无量纲量
∴, ,
∴,其中是未定函数.
考虑物理模拟的比例模型,设和不变,记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为,;,;,. 又
当无量纲量时, 就有.
《数学模型》作业解答
第三章1(2008年10月14日)
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