文档介绍：数学建模概论
浙江大学数学建模实践基地
数学模型(Mathematical Model)
是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻划,它或能解释某些客观现象,或能预测未来的发展规律,或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。
数学建模(Mathematical Modeling)
应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程。
§ 数学模型与数学建模
例(万有引力定律的发现)
十五世纪中期,哥白尼提出了震惊世界的日心说。
丹麦著名的实验天文学家第谷花了二十多年时间观察纪录下了当时已发现的五大行星的运动情况。
第谷的学生和助手开普勒对这些资料进行了九年时间的分析计算后得出著名的Kepler三定律。
牛顿根据开普勒三定律和牛顿第二定律,利用微积分方法推导出牛顿第三定律即万有引力定律。
,太
太阳位于此椭圆的一个焦
点上。
面积不变。
于椭圆长半轴的三次方,
比例系数不随行星而改变
(绝对常数)
开普勒三大定律
这其中必定是某一力学
规律的反映,哼哼,我
要找出它。。。。
如图,有椭圆方程:
矢径所扫过的面积A的微分为:
由开普勒第二定律:
常数
立即得出:
即:
椭圆面积
由此得出
常数
简单推导如下:
行星
r
太阳
我们还需算出行星的加速度,为此需要建立两种不同的坐标架。第一个是固定的,以太阳为坐标原点,沿长轴方向的单位向量记为i,沿短轴方向的单位向量记为j,于是:
进而有加速度
以行星为坐标原点建立活动架标,其两个正交的单位向量分别是
因此得出
由于
也就是说行星的加速度为
由开普勒第三定律知
为常数。若记
那么就导出著名的万有引力定律:
再将椭圆方程
两边微分两次,得
将前面得到的结果
和焦参数
代入,即得
,明确建模目的,收集掌握必要的数据资料。
,掌握必要资料的基础上,通过对资料的分析计算, 找出起主要作用的因素,经必要的精炼、简化,提出若干符合客观实际的假设。
,利用适当的数学工具去刻划各变量之间的关系,建立相应的数学结构——即建立数学模型。
。
。
在难以得出解析解时,也应当借助计算机求出数值解。
§ 数学建模的一般步骤
实体信息(数据)
假设
建模
求解
验证
应用
§ 数学模型的分类
分类标准
具体类别
对某个实际问题了解的深入程度
白箱模型、灰箱模型、黑箱模型
模型中变量的特征
连续型模型、离散型模型或确定性模型、随机型模型等
建模中所用的数学方法
初等模型、微分方程模型、差分方程模型、优化模型等
研究课题的实际范畴
人口模型、生态系统模型、交通
流模型、经济模型、基因模型等
①数学建模实践的每一步中都蕴含着能力上的锻炼,在调查研究阶段,需要用到观察能力、分析能力和数据处理能力等。在提出假设时,又需要用到想象力和归纳简化能力。
②在真正开始自己的研究之前,还应当尽可能先了解一下前人或别人的工作,使自己的工作成为别人研究工作的继续而不是别人工作的重复,你可以把某些已知的研究结果用作你的假设,去探索新的奥秘。因此我们还应当学会在尽可能短的时间内查到并学会我想应用的知识的本领。
③还需要你多少要有点创新的能力。这种能力不是生来就有的,建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。
§ 数学建模与能力的培养
开设数学建模课的主要目的为了提高学生的综合素质,增强应用数学知识解决实际问题的本领。
仅最近几年里,我校学生都在只参加了半年左右的学习和实践后,就在国际性的竞赛(美国大学生数学建模竞赛)中交出了非常出色的研究论文,夺得了特等奖兼INFORMS奖2项(1999年、2003年各一项)、18项一等奖、10项二等奖的好成绩。
例1 某人平时下班总是按预定时间到达某处,然
然后他妻子开车接他回家。有一天,他比平时提早
了三十分钟到达该处,于是此人就沿着妻子来接他
的方向步行回去并在途中遇到了妻子,这一天,他
比平时提前了十分钟到家,问此人共步行了多长时
间?
§ 一些简单实例
似乎条件不够哦。。
换一种想法,问题就迎刃而解了。假如他的妻子遇到他后仍载着他开往会合地点,那么这一天他就不会提前回家了。提前的十分钟时间从何而来?
显然是由于节省了从相遇点到会合点,又从会合点返回相遇点这一段路的缘故,故由相遇点到会合点需开5分钟。而此人提前了三十分钟到达会合点,故相遇时他已步行了二十五分钟。
请思考一下,本题解答中隐含了哪些假设?