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第一章 数和数的运算
一 、概念
(一)整数
4数位:计数单位按照一定的顺序排列起来,它们所占的位置叫做数位。
5数的整除
   整除:倍数;约数;质数;合数
除尽:没有余数
2,3,5倍数的特征
 
(二)小数
、读法、写法
 纯小数、带小数、有限小数、无限小数、无限不循环小数、循环小数
 
(三)分数和百分数
1分数的意义、单位以及与除法、“比”的关系
把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或者几份的数叫做分数。
把单位“1”平均分成若干份,表示其中的一份的数,叫做分数单位。
2分数的分类
真分数:分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。
假分数:分子比分母大或者分子和分母相等的分数,叫做假分数。假分数大于或等于1。
带分数:假分数可以写成整数与真分数合成的数,通常叫做带分数。
:分子和分母同时乘上或除以相同的数(零除外),分数的大小不变
表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫做百分率或百分比。百分数通常用"%"来表示。百分号是表示百分数的符号。
、小数、百分数互化及大小比较
 
二 、数的运算
(一)整数、小数、分数四则运算
  :
  把两个数合并成一个数的运算叫做加法。
 在加法里,相加的数叫做加数,加得的数叫做和。加数是部分数,和是总数。
:
 已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算叫做减法。
:
求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。
在乘法里,相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。相同加数的和叫做积。
4 整数除法:
已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算叫做除法。
在除法里,已知的积叫做被除数,已知的一个因数叫做除数,所求的因数叫做商。
乘法和除法互为逆运算。
在除法里,0不能做除数。
 
(二)运算定律
:a+b=b+a  
:(a+b)+c=a+(b+c)  
:a×b=b×a
:(a×b)×c=a×(b×c)
:(a+b)×c=a×c+b×c  
:从一个数里连续减去几个数,可以从这个数里减去所有减数的和,差不变,即a-b-c=a-(b+c)。
 
(三)运算顺序
。
。
:
同级运算从左往右依次运算;两级运算先算乘、除法,后算加减法。
:
先算小括号里面的,再算中括号里面的,最后算括号外面的。
:
加法和减法叫做第一级运算。
:
乘法和除法叫做第二级运算。
三、  应用
(一)整数和小数的应用
1简单应用题
2复合应用题
 有两个或两个以上的基本数量关系组成的,用两步或两步以上运算解答的应用题,通常叫做复合应用题。
:
总价=单价×数量
路程=速度×时间
工作总量=工作时间×工效             总产量=单产量×数量  
3典型应用题   
(1)平均数问题:平均数是等分除法的发展。
解题关键:在于确定总数量和与之相对应的总份数。
数量关系式:(大数-小数)÷2=小数应得数   
           最大数与各数之差的和÷总份数=最大数应给数     
           最大数与个数之差的和÷总份数=最小数应得数。
 
(2)归一问题:已知相互关联的两个量,其中一种量改变,另一种量也随之而改变,其变化的规律是相同的,这种问题称之为归一问题。
数量关系式:单一量×份数=总数量(正归一)  
           总数量÷单一量=份数(反归一)
 
(3)归总问题:是已知单位数量和计量单位数量的个数,以及不同的单位数量(或单位数量的个数),通过求总数量求得单位数量的个数(或单位数量)。
    特点:两种相关联的量,其中一种量变化,另一种量也跟着变化,不过变化的规律相反,和反比例算法彼此相通。
   数量关系式:单位数量×单位个数÷另一个单位数量=另一个单位数量       
           单位数量×单位个数÷另一个单位数量=另一个单位数量。  
 
(4)和差问题:已知大小两个数的和,以及他们的差,求这两个数各是多少的应用题叫做和差问题。
     解题规律:(和+差)÷2=大数  大数-差=小数
                 和-差)÷2=小数      和-小数=大数
(5)和倍问题:已知两个数的和及它们之间的倍数关系,求两个数各是多少的应用题,叫做和倍问题。
解题规律:和÷倍数和=标准数  标准数×倍数=另一个数
(6)差倍问题:已知两个数的差,及两个数的倍数关系,求两个数各是多少的应用题。
   解题规律:两个数的差÷(倍数-1)=标准数 标准数×倍数=另一个数。
 
 
(7)行程问题:关于走路、行车等问题,一般都是计算路程、时间、速度,叫做行程问题。解答这类问题首先要搞清楚速度、时间、路程、方向、杜速度和、速度差等概念,了解他们之间的关系,再根据这类问题的规律解答。
解题关键及规律:
同时同地相背而行:路程=速度和×时间。
同时相向而行:相遇时间=速度和×时间
同时同向而行(速度慢的在前,快的在后):追及时间=路程速度差。
同时同地同向而行(速度慢的在后,快的在前):路程=速度差×时间。
 
流水问题:
船速:船在静水中航行的速度。
水速:水流动的速度。
顺水速度:船顺流航行的速度。
逆水速度:船逆流航行的速度。
顺速=船速+水速
逆速=船速-水速
解题规律:船行速度=(顺水速度+逆流速度)÷2
         流水速度=(顺流速度逆流速度)÷2
         路程=顺流速度×顺流航行所需时间
         路程=逆流速度×逆流航行所需时间
 
(9)还原问题:已知某未知数,经过一定的四则运算后所得的结果,求这个未知数的应用题,我们叫做还原问题。
解题规律:从最后结果出发,采用与原题中相反的运算(逆运算)方法,逐步推导出原数。
根据原题的运算顺序列出数量关系,然后采用逆运算的方法计算推导出原数。
解答还原问题时注意观察运算的顺序。若需要先算加减法,后算乘除法时别忘记写括号。
 
(10)植树问题:这类应用题是以“植树”为内容。凡是研究总路程、株距、段数、棵树四种数量关系的应用题,叫做植树问题。
解题关键:解答植树问题首先要判断地形,分清是否封闭图形,从而确定是沿线段植树还是沿周长植树,然后按基本公式进行计算。
解题规律:
   沿线段植树:棵树=段数+1   棵树=总路程÷株距+1
               株距=总路程÷(棵树-1)     总路程=株距×(棵树-1)
   沿周长植树:棵树=总路程÷株距
                 株距=总路程÷棵树
                 总路程=株距×棵树
 
 
(11)盈亏问题:是在等分除法的基础上发展起来的。他的特点是把一定数量的物品,平均分配给一定数量的人,在两次分配中,一次有余,一次不足(或两次都有余),或两次都不足),已知所余和不足的数量,求物品适量和参加分配人数的问题,叫做盈亏问题。
解题关键:盈亏问题的解法要点是先求两次分配中分配者没份所得物品数量的差,再求两次分配中各次共分物品的差(也称总差额),用前一个差去除后一个差,就得到分配者的数,进而再求得物品数。
解题规律:总差额÷每人差额=人数
总差额的求法可以分为以下四种情况:
第一次多余,第二次不足,总差额=多余+不足
第一次正好,第二次多余或不足,总差额=多余或不足
第一次多余,第二次也多余,总差额=大多余-小多余
第一次不足,第二次也不足,总差额=大不足-小不足
 
(12)年龄问题:将差为一定值的两个数作为题中的一个条件,这种应用题被称为“年龄问题”。
解题关键:年龄问题与和差、和倍、差倍问题类似,主要特点是随着时间的变化,年岁不断增长,但大小两个不同年龄的差是不会改变的,因此,年龄问题是一种“差不变”的问题,解题时,要善于利用差不变的特点。
 
(13)鸡兔问题:已知“鸡兔”的总头数和总腿数。求“鸡”和“兔”各多少只的一类应用题。通常称为“鸡兔问题”又称鸡兔同笼问题
解题关键:解答鸡兔问题一般采用假设法,假设全是一种动物(如全是“鸡”或全是“兔”,然后根据出现的腿数差,可推算出某一种的头数。
解题规律:(总腿数-鸡腿数×总头数)÷一只鸡兔腿数的差=兔子只数
兔子只数=(总腿数-2×总头数)÷2
如果假设全是兔子,可以有下面的式子:
鸡的只数=(4×总头数-总腿数)÷2
兔的头数=总头数-鸡的只数
 
(二)分数和百分数的应用
1 分数加减法应用题:
分数加减法的应用题与整数加减法的应用题的结构、数量关系和解题方法基本相同,所不同的只是在已知数或未知数中含有分数。
 
2分数乘法应用题:
是指已知一个数,求它的几分之几是多少的应用题。
特征:已知单位“1”的量和分率,求与分率所对应的实际数量。
解题关键:准确判断单位“1”的量。找准要求问题所对应的分率,然后根据一个数乘分数的意义正确列式。
 
3分数除法应用题:
求一个数是另一个数的几分之几(或百分之几)是多少。
特征:已知一个数和另一个数,求一个数是另一个数的几分之几或百分之几。“一个数”是比较量,“另一个数”是标准量。求分率或百分率,也就是求他们的倍数关系。
解题关键:从问题入手,搞清把谁看作标准的数也就是把谁看作了“单位一”,谁和单位一的量作比较,谁就作被除数。
甲是乙的几分之几(百分之几):甲是比较量,乙是标准量,用甲除以乙。
甲比乙多(或少)几分之几(百分之几):甲减乙比乙多(或少几分之几)或(百分之几)。关系式(甲数减乙数)/乙数或(甲数减乙数)/甲数。
已知一个数的几分之几(或百分之几),求这个数。
特征:已知一个实际数量和它相对应的分率,求单位“1”的量。
解题关键:准确判断单位“1”的量把单位“1”的量看成x根据分数乘法的意义列方程,或者根据分数除法的意义列算式,但必须找准和分率相对应的已知实际
数量。
4 出勤率
发芽率=发芽种子数/试验种子数×100%
小麦的出粉率=面粉的重量/小麦的重量×100%
产品的合格率=合格的产品数/产品总数×100%
职工的出勤率=实际出勤人数/应出勤人数×100%
5 工程问题
是分数应用题的特例,它与整数的工作问题有着密切的联系。它是探讨工作总量、工作效率和工作时间三个数量之间相互关系的一种应用题。
解题关键:把工作总量看作单位“1”,工作效率就是工作时间的倒数,然后根据题目的具体情况,灵活运用公式。
数量关系式:
工作总量=工作效率×工作时间
工作效率=工作总量÷工作时间
工作时间=工作总量÷工作效率
工作总量÷工作效率和=合作时间
6 纳税
纳税就是把根据国家各种税法的有关规定,按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。
缴纳的税款叫应纳税款。
应纳税额与各种收入的(销售额、营业额、应纳税所得额……)的比率叫做税率。
*利息
存入银行的钱叫做本金。
取款时银行多支付的钱叫做利息。
利息与本金的比值叫做利率。
利息=本金×利率×时间
 
第三章 代数初步知识
一、用字母表示数
二、简易方程:解方程 ;解方程;列方程解应用题
小学范围内常用方程解的应用题:
a一般应用题;
b和倍、差倍问题;
c几何形体的周长、面积、体积计算;
d分数、百分数应用题;
e比和比例应用题。
三、比和比例
1比的意义和性质
(1)比的意义
两个数相除又叫做两个数的比。
(2)比的性质
比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数(0除外),比值不变,这叫做比的基本性质。
(3)求比值和化简比
(4)比例尺
2比例的意义和性质
(1)比例的意义   
(2)比例的性质:在比例里,两个外项的积等于两个两个内向的积。
(3)解比例
3正比例和反比例
(1)成正比例的量
(2)成反比例的量
 
第四章 几何的初步知识
一、线和角
(1)线:直线、射线、线段、平行线、垂线  
(2)角
角的概念:从一点引出两条射线,所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点,这两条射线叫做角的边。
角的分类
锐角:小于90°的角叫做锐角。
直角:等于90°的角叫做直角。
钝角:大于90°而小于180°的角叫做钝角。
平角:角的两边成一条直线,这时所组成的角叫做平角。平角180°。
 周角:角的一边旋转一周,与另一边重合。周角是360°。
二、平面图形
1长方形
(1)特征
对边相等,4个角都是直角的四边形。有两条对称轴。
(2)计算公式
c=2(a+b)
s=ab
2正方形
(1)特征:
四条边都相等,四个角都是直角的四边形。有4条对称轴。
(2)计算公式
c=4a
s=a²
3三角形
(1)特征
由三条线段围成的图形。内角和是180度。三角形具有稳定性。三角形有三条高。
(2)计算公式
s=ah/2
(3)分类
按角分
锐角三角形:三个角都是锐角。
直角三角形:有一个角是直角。等腰三角形的两个锐角各为45度,它有一条对称轴。
钝角三角形:有一个角是钝角。
按边分
不等边三角形:三条边长度不相等。
等腰三角形:有两条边长度相等;两个底角相等;有一条对称轴。
等边三角形:三条边长度都相等;三个内角都是60度;有三条对称轴。
4平行四边形