精选北师大版初中数学九下知识点汇总——分章节整理.doc

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  【北师大版】数学知识点汇总[九年级](下册)
  第一章直角三角形边的关系
  ※:
  定义:在Rt△ABC中,锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即tanA=..
  ÐA的对边ÐA的邻边
  ;
  ①tanA是一个完整的符号,它表示∠A的正切,记号里习惯省去角的符号“∠”;②tanA没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A的对边与邻边的比;③tanA不表示“tan”乘以“A”;
  ④初中阶段,我们只学习直角三角形中,∠A是锐角的正切;
  ⑤tanA的值越大,梯子越陡,∠A越大;∠A越大,梯子越陡,tanA的值越大。※:..定义:在Rt△ABC中,锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即sinA=※:
  定义:在Rt△ABC中,锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即cosA=※余切:
  定义:在Rt△ABC中,锐角∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切,记作cotA,即cotA=
  ÐA的邻边ÐA的对边ÐA的邻边斜边ÐA的对边斜边
  ;
  ;
  ;
  ※一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。
  (通常我们称正弦、余弦互为余函数。同样,也称正切、余切互为余函数,可以概括为:一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数)用等式表达:若∠A为锐角,则①sinA=cos(90°-ÐA);cosA=sin(90°-ÐA)②tanA=cot(90°-ÐA);cotA=tan(90°-ÐA)
  ※当从低处观测高处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为仰角..※当从高处观测低处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为俯角..
  ※利用特殊角的三角函数值表,可以看出,(1)当
  角度在0°~90°间变化时,正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sinα≤1,0≤cosα≤1。※同角的三角函数间的关系:
  倒数关系:tgα·ctgα=1。
  
  图1
  ※在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形。
  第1页
  
  
  ◎在△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,则有
  (1)三边之间的关系:a2+b2=c2;
  (2)两锐角的关系:∠A+∠B=90°;
  (3)边与角之间的关系:
  sinA=sinB=acb
  c,,cosA=cosB=bca
  c,,tanA=tanB=abb
  a,,cotA=cotB=ba;;a
  b
  (4)面积公式:SD=12ab=1
  2chc(hc为C边上的高);
  a+b-c
  2
  1
  2c(5)直角三角形的内切圆半径r=(6)直角三角形的外接圆半径R=
  ◎解直角三角形的几种基本类型列表如下:
  ◎解直角三角形的几种基本类型列表如下:
  
  h图
  2
  
  图3图4
  ※如图2,坡面与水平面的夹角叫做坡角(或叫做坡比)。用字母i表示,即i=....h
  l=tanA
  ◎从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角。如图3,OA、OB、OC的方位角分...
  别为45°、135°、225°。
  ◎指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角,叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、...
  OD的方向角分别是;北偏东30°,南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°,北偏西60°。
  
  第二章二次函数
  ※二次函数的概念:形如y=ax+bx+c(a、、b、是常数,a¹0)的函数,叫做x的二次函数。自变量的取值范围....
  是全体实数。y=ax(a¹0)是二次函数的特例,此时常数b=c=0.
  ※在写二次函数的关系式时,一定要寻找两个变量之间的等量关系,列出相应的函数关系式,并确定自变量的取值范.......围。.
  第2页
  22
  
  ※二次函数y=ax2的图象是一条顶点在原点关于y轴对称的曲线,这条曲线叫做抛物线。...
  描述抛物线常从开口方向、对称性、y随x的变化情况、抛物线的最高(或最低)点、抛物线与x轴的交点等方面来描述。
  ①函数的定义域是全体实数;
  ②抛物线的顶点在(0,0),对称轴是y轴(或称直线x=0)。
  ③当a>0时,抛物线开口向上,并且向上方无限伸展。当a<0时,抛物线开口向下,并且向下方无限伸展。
  ④函数的增减性:A、当a>0时í
  ìx£0时,y随x增大而减小;îx³0时,y随x增大而增大
  .
  B、当a<0时í
  ìx£0时,y随x增大而增大;
  îx³0时,y随x增大而减小.
  
  ⑤当|a|越大,抛物线开口越小;当|a|越小,抛物线的开口越大。
  ⑥最大值或最小值:当a>0,且x=0时函数有最小值,最小值是0;当a<0,且x=0时函数有最大值,最大值是0.※二次函数y=ax+c的图象是一条顶点在y轴上且与y轴对称的抛物线
  b2a
  b2a
  2
  ※二次函数y=ax+bx+c的图象是以x=-
  2为对称轴,顶点在(-,
  4ac-b4a
  2
  )的抛物线。(开
  口方向和大小由a来决定)
  ※|a|的越大,抛物线的开口程度越小,越靠近对称轴y轴,y随x增长(或下降)速度越快;|a|的越小,抛物线的开口程度越大,越远离对称轴y轴,y随x增长(或下降)速度越慢。※二次函数y=ax2+c的图象中,a的符号决定抛物线的开口方向,|a|决定抛物线的开口程度大小,c决定抛物线的顶点位置,即抛物线位置的高低。
  ※二次函数y=ax2+bx+c的图象与y=ax2的图象的关系:
  y=ax2+bx+c的图象可以由y=ax2的图象平移得到,其步骤如下:①将y=ax+bx+c配方成y=a(x-h)+k的形式;(其中h=-
  2
  2
  b2a
  ,k=
  4ac-b4a
  2
  );
  ②把抛物线y=ax2向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|个单位,得到y=a(x-h)2的图象;
  ③再把抛物线y=a(x-h)2向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位,便得到y=a(x-h)2+k的图象。※二次函数y=ax2+bx+c的性质:二次函数y=ax+bx+c配方成y=a(x+①对称轴:x=-
  b2a
  2
  b2a
  )+
  2
  4ac-b4a
  2
  则抛物线的
  b2a
  ②顶点坐标:(-
  b2a
  ,4ac-b)
  4a
  2
  ③增减性:若a>0,则当x<-
  时,y随x的增大而减小;当x>-.....
  b2a
  时,y随x的增大而增大。......
  第3页
  
  若a<0,则当x<-b
  2a时,y随x的增大而增大;当x>-.....
  4ac-b
  4a2b2ab2a时,y随x的增大而减小。......4ac-b4a2④最值:若a>0,则当x=-b
  2a时,y最小=;若a<0,则当x=-时,y最大=
  ※画二次函数y=ax2+bx+c的图象:
  我们可以利用它与函数y=ax2的关系,平移抛物线而得到,但往往我们采用简化了的描点法----五点法来画二次函数来画二次函数的图象,其步骤如下:
  ①先找出顶点(-b
  2a2,4ac-b),画出对称轴x=-b2a;4a
  ②找出图象上关于直线x=-b
  2a对称的四个点(如与坐标的交点等);
  ③把上述五点连成光滑的曲线。
  ¤二次函数的最大值或最小值可以通过将解析式配成y=a(x-h)2+k的形式求得,也可以借助图象观察。¤解决最大(小)值问题的基本思路是:
  ①理解问题;
  ②分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;
  ③用数学的方式表示它们之间的关系;
  ④做数学求解;
  ⑤检验结果的合理性、拓展性等。
  ※二次函数y=ax2+bx+c的图象(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1,x2是对应一元二次方程
  ax2+bx+c=0的两个实数根
  ※抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:
  b2-4ac>0<===>抛物线与x轴有2个交点;
  b2-4ac=0<===>抛物线与x轴有1个交点;
  b2-4ac<0<===>抛物线与x轴有0个交点(无交点);
  ※当b2-4ac>0时,设抛物线与x轴的两个交点为A、B,则这两个点之间的距离:
  |AB|=|x1+x2|=(x2-x1)
  22=(x1+x2)-4x1x2(b-4ac>0)------这就是抛物线与22化简后即为:|AB|=b-4ac
  |a|x轴的两交点之间的距离公式。
  第三章圆