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函数概念(一)知识梳理
设是两个集合,如果按照某种对应法则,对于集合中的任意元素,在集合中都有唯一确定的元素与之对应,那么这样的单值对应叫做从到的映射,通常记为,f表示对应法则
注意:⑴A中元素必须都有象且唯一;⑵B中元素不一定都有原象,但原象不一定唯一。
(1)函数的定义:
设是两个非空的数集,如果按照某种对应法则,对于集合中的每一个数,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么这样的对应叫做从到的一个函数,通常记为
(2)函数的定义域、值域
在函数中,叫做自变量,的取值范围叫做的定义域;与的值相对应的值叫做函数值,函数值的集合称为函数的值域。
(3)函数的三要素:定义域、值域和对应法则
:图象法、列表法、解析法
(1).图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系;
(2).列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系;
(3).解析法:就是把两个变量的函数关系,用等式来表示。
在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。
(二)考点分析
考点1:映射的概念
例1.(1),,;
(2),,;
(3),,.
上述三个对应是到的映射.
,,,则到的映射有个,到的映射有个,到的函数有个
,,如果从到的映射满足条件:对中的每个元素与它在中的象的和都为奇数,则映射的个数是()
8个12个16个18个
考点2:判断两函数是否为同一个函数
?
(1),;
(2),
(3),(n∈N*);
(4),;
(5),
考点3:求函数解析式
方法总结:(1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),则用待定系数法;
(2)若已知复合函数的解析式,则可用换元法或配凑法;
(3)若已知抽象函数的表达式,则常用解方程组消参的方法求出
题型1:由复合函数的解析式求原来函数的解析式
,求(三种方法)
例2.(09湖北改编)已知=,则的解析式可取为
题型2:求抽象函数解析式
,求
考点4:求函数的定义域
题型1:求有解析式的函数的定义域
(1)方法总结:如没有标明定义域,则认为定义域为使得函数解析式有意义的的取值范围,实际操作时要注意:①分母不能为0;②对数的真数必须为正;③偶次根式中被开方数应为非负数;④零指数幂中,底数不等于0;⑤负分数指数幂中,底数应大于0;⑥若解析式由几个部分组成,则定义域为各个部分相应集合的交集;⑦如果涉及实际问题,还应使得实际问题有意义,而且注意:研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则,实际问题的定义域不要漏写。
例1.(08年湖北)函数的定义域为()
A.;B.;C.;D.
题型2:求复合函数和抽象函数的定义域
例1.(2007·湖北)设,则的定义域为()
A.;B.;C.;D.
,求的定义域
,求函数的定义域
(-2,0),求的定义域
考点5:求函数的值域
求值域的几种常用方法
(1)配方法:对于(可化为)“二次函数型”的函数常用配方法,
如求函数,可变为解决
(2)基本函数法:一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求,
如函数就是利用函数和的值域来求。
(3)判别式法:通过对二次方程的实根的判别求值域。
如求函数的值域
(4)分离常数法:常用来求“分式型”函数的值域。如求函数的值域,因为
(5)利用基本不等式求值域:如求函数的值域
(6)利用函数的单调性求求值域:如求函数的值域
(7)图象法:如果函数的图象比较容易作出,则可根据图象直观地得出函数的值域
(8)导数法――一般适用于高次多项式函数,如求函数,的最小值。(-48)
(9)对勾函数法像y=x+,(m>0)的函数,m<0就是单调函数了
三种模型:(1)如,求(1)单调区间(2)x的范围[3,5],求值域(3)x[-1,0)(0,4],求值域
(2)如,求(1)[3,7]上的值域(2)单调递增区间(x0或x4)
(3)如,(1)求[-1,1]上的值域(2)求单调递增区间
函数的单调性
(一)知识梳理
1、函数的单调性定义:
设函数的定义域为,区间,如果对于区间内的任意两个值,,当时,都有,那么就说在区间上是单调增函数,称为的单调增区间;如果对于区间内的任意两个值,,当时,都有,那么就说在区间上是单调减函数,称为的单调减区间。
如果用导数的语言来,那就是:设函数,如果在某区间上,那么为区间上的增函数;如果在某区间上,那么为区间上的减函数;
2、确定函数的单调性或单调区间的常用方法:
(1)①定义法(取值――作差――变形――定号);②导数法(在区间内,若总有,则为增函数;反之,若在区间内为增函数,则,
(2)在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等,特别要注意,型函数的图象和单调性在解题中的运用:增区间为,减区间为.
(3)复合函数法:复合函数单调性的特点是同增异减
(4)若与在定义域内都是增函数(减函数),那么在其公共定义域内是增函数(减函数)。
3、单调性的说明:
(1)函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域;
(2)函数单调性定义中的,有三个特征:一是任意性;二是大小,即;三是同属于一个单调区间,三者缺一不可;
(3)函数的单调性是对某个区间而言的,所以受到区间的限制,如函数分别在和内都是单调递减的,但是不能说它在整个定义域即内是单调递减的,只能说函数的单调递减区间为和。
4、函数的最大(小)值
设函数的定义域为,如果存在定值,使得对于任意,有恒成立,那么称为的最大值;如果存在定值,使得对于任意,有恒成立,那么称为的最小值。
(二)考点分析
考点1函数的单调性
题型1:讨论函数的单调性
例1.(1)求函数的单调区间;
(2)已知若试确定的单调区间和单调性.
(x)=在定义域上的单调性.
题型2:研究抽象函数的单调性
,对定义域内的任意都有,且当时,
(1)求证:是偶函数;(2)在上是增函数;(3)解不等式.
题型3:函数的单调性的应用
(-∞,4]上是减函数,那么实数的取值范围是______
,则实数的取值范围_____
考点2函数的值域(最值)的求法
求最值的方法:(1)若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数,常用配方法。(2)利用函数的单调性求最值:先判断函数在给定区间上的单调性,然后利用函数的单调性求最值。(3)基本不等式法:当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法(但有注意等号是否取得)。(4)导数法:当函数比较复杂时,一般采用此法(5)数形结合法:画出函数图象,找出坐标的范围或分析条件的几何意义,在图上找其变化范围。
题型1:求分式函数的最值
例1.(2007上海)已知函数当时,求函数的最小值。
题型2:利用函数的最值求参数的取值范围
例2.(2008广东)已知函数若对任意恒成立,试求实数的取值范围。
函数的奇偶性
(一)知识梳理
1、函数的奇偶性的定义:①对于函数的定义域内任意一个,都有〔或〕,。②对于函数的定义域内任意一个,都有〔或〕,。
③,其定义域关于原点对称(也就是说,函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)
:
(1)可以利用奇偶函数的定义判断
(2)利用定义的等价形式,,()
(3)图像法:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于轴对称
:
(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反.
(2)若奇函数定义域中含有0,则必有.
证明:
(3)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”。如设是定义域为R的任一函数,,。
(4)复合函数的奇偶性特点是:“内偶则偶,内奇同外”.
(5)设,的定义域分别是,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇.
(6)定义域关于原点对称是奇偶函数的前提,因此,判断奇偶性必须先看定义域是否是关于原点对称的数集。
(7)既奇又偶的函数是存在的,而且不止一个;其解析式一定可以化为,但是定义域可以不同。
证明:
(二)考点分析
考点1判断函数的奇偶性及其应用
题型1:判断有解析式的函数的奇偶性
:
(1)f(x)=|x+1|-|x-1|;(2)f(x)=(x-1)·;
(3);(4)
题型2:证明抽象函数的奇偶性
例1.(09年山东)定义在区间上的函数f(x)满足:对任意的,(x)为奇函数;
例2.(1)函数,,若对于任意实数,都有,求证:为奇函数。
设函数定义在上,证明是偶函数,是奇函数。
考点2函数奇偶性、单调性的综合应用
,若,求实数的取值范围。
,都有,且时,
(1)求证是奇函数;
(2)试问当时,是否有最值?如果有,求出最值;如果没有,说出理由。
(x)是定义在R上的偶函数,并在区间(-∞,0)内单调递增,f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1).求a的取值范围,并在该范围内求函数y=()的单调递减区间.
(一)知识梳理
:
(1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0)。
(2)顶点式(配方式):f(x)=a(x-h)2+k其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。
(3)两点式(因式分解):f(x)=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是抛物线与x轴两交点的坐标。
(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线,对称轴,顶点坐标
(1)a>0时,抛物线开口向上,函数在上单调递减,在上单调递增,时,
;
(2)a<0时,抛物线开口向下,函数在上单调递增,在上单调递减,时,。
(x)=ax2+bx+c(a≠0)当时图象与x轴有两个交点M1(x1,0),M2(x2,0)
。
:二次函数f(x)=ax2+bx+c在区间[α,b]上的最值一般分为三种情况讨论,即:(1)对称轴-b/(2a)在区间左边,函数在此区间上具有单调性;;(2)对称轴-b/(2a)在区间之内;(3)对称轴在区间右边要注意系数a的符号对抛物线开口的影响
6二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系:
①f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴无交点ax2+bx+c=0无实根ax2+bx+c>0(<0)的解集为或者是R;
②f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴相切ax2+bx+c=0有两个相等的实根ax2+bx+c>0(<0)的解集为或者是R;
③f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴有两个不同的交点ax2+bx+c=0有两个不等的实根ax2+bx+c>0(<0)的解集为或者是
(二)考点分析
(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数。
法一:利用一般式
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由题意得:解得:∴f(x)=-4x2+4x+7
法二:利用顶点式
∵f(2)=f(-1)∴对称轴又最大值是8
∴可设,由f(2)=-1可得a=-4
法三:由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)即f(x)=ax2-ax-2a-1,又得a=-4或a=0(舍)∴f(x)=-4x2+4x+7
,截轴上的弦长为,且过点,求函数的解析式.
解:∵二次函数的对称轴为,设所求函数为,又∵截轴上的弦长为,∴过点,又过点,
∴,,
∴
(x)=-x2+2ax+1-a在0≤x≤1时有最大值2,求a的值。
=f(x)=x2-2x+3,当x∈[-1,3]时,求函数的最大值和最小值。
+2mx+2m+1=0
(1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m的取值范围。
(2)若方程两根在区间(0,1)内,求m的范围。
思维分析:一般需从三个方面考虑①判别式Δ②区间端点函数值的正负③对称轴与区间相对位置。
【反思归纳】根分布问题:一般地对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0的实根分布问题,用图象求解,主要研究开口、判别式、对称轴、区间端点对应函数值的正负,列出不等式(组)求解。
,求的取值范围.
指数与指数函数
(一)知识梳理
;;;;;
:(),定义域R,值域为().⑴①当,指数函数:在定义域上为增函数;②当,指数函数:在定义域上为减函数.⑵当时,的值越大,越靠近
轴;当时,则相反.
(二)考点分析
,比较,的大小:(1)(2)
变式1:设,那么()
<a<<b<a
<a<<b<a
[0,1]上的最大值与最小值的和为3,则的值为()
.
(且)的图象关于直线对称,,则实数的取值范围是( )
A. B. .
对数与对数函数
(一)知识梳理
:
;;;;;;
:如果()的次幂等于,就是,数就叫做以为底的的对数,记作(,负数和零没有对数);其中叫底数,叫真数.
当时,的值越大,越靠近轴;当时,则相反.
(二)考点分析
,,且
求函数定义域
判断函数的奇偶性,并说明理由.
,那么的取值范围是
A. B. C. D.
,且,求实数的取值范围.
变式1:若,则的取值范围是(). C. D.
幂函数
(一)知识梳理1、幂函数的概念
一般地,形如的函数称为幂函数,其中是自变量,是常数
幂函数的图像及性质
定义域
R
R
R
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
在第Ⅰ象限的增减性
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递减
幂函数的图像在第一象限的分布规律是:
①所有幂函数的图像都过点;
②当时函数的图像都过原点;
③当时,的的图像在第一象限是第一象限的平分线(如);
④当时,的的图像在第一象限是“凹型”曲线(如)
⑤当时,的的图像在第一象限是“凸型”曲线(如)
⑥当时,的的图像不过原点,且在第一象限是“下滑”曲线(如)
3、重难点问题探析:幂函数性质的拓展
当时,幂函数有下列性质:
(1)图象都通过点,;
(2)在第一象限内都是增函数;
(3)在第一象限内,时,图象是向下凸的;时,图象是向上凸的;
(4)在第一象限内,过点后,图象向右上方无限伸展。
当时,幂函数有下列性质:
(1)图象都通过点;
(2)在第一象限内都是减函数,图象是向下凸的;
(3)在第一象限内,图象向上与轴无限地接近;向右无限地与轴无限地接近;