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学生编
01、余子式与代数余子式 -2-
02、主对角线 -2-
03、转置行列式 -2-
04、行列式的性质 -3-
05、计算行列式 -3-
06、矩阵中未写出的元素 -4-
07、几类特殊的方阵 -4-
08、矩阵的运算规则 -4-
09、矩阵多项式 -6-
10、对称矩阵 -6-
11、矩阵的分块 -6-
12、矩阵的初等变换 -6-
13、矩阵等价 -6-
14、初等矩阵 -7-
15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵 -7-
16、逆矩阵 -7-
17、充分性与必要性的证明题 -8-
18、伴随矩阵 -8-
19、矩阵的标准形: -9-
20、矩阵的秩: -9-
21、矩阵的秩的一些定理、推论 -9-
22、线性方程组概念 -9-
23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组(不含向量) -9-
24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念 -11-
25、线性方程组的向量形式 -11-
26、线性相关与线性无关的概念 -11-
27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关 -11-
28、线性相关、线性无关;齐次线性方程组的解;矩阵的秩这三者的关系及其例题 -11-
29、线性表示与线性组合的概念 -11-
30、线性表示;非齐次线性方程组的解;矩阵的秩这三者的关系其例题 -12-
31、线性相关(无关)与线性表示的3个定理 -12-
32、最大线性无关组与向量组的秩 -12-
33、线性方程组解的结构 -12-
01、余子式与代数余子式
(1)设三阶行列式D=,则
①元素,,的余子式分别为:M11=,M12=,M13=
对M11的解释:划掉第1行、第1列,剩下的就是一个二阶行列式,这个
行列式即元素的余子式M11。其他元素的余子式以此类推。
②元素,,的代数余子式分别为:A11=(-1)1+1M11,A12=(-1)1+2M12,
A13=(-1)1+(i表示第i行,j表示第j列):Aij=(-1)i+jMij.
(N阶行列式以此类推)
(2)填空题求余子式和代数余子式时,最好写原式。比如说,作业P1第1题:
M31=,A31=(-1)3+1
(3)例题:课本P8、课本P21-27、作业P1第1题、作业P1第3题
02、主对角线
一个n阶方阵的主对角线,是所有第k行第k列元素的全体,k=1,2,3…n,即从左上到右下
的一条斜线。与之相对应的称为副对角线或次对角线,即从右上到左下的一条斜线。
03、转置行列式
即元素与元素的位置对调(i表示第i行,j表示第j列),比如说,与的位置对调、与的位置对调。
04、行列式的性质
详见课本P5-8(~)
其中,:
++…+(i表示第i行,k表示第k列)
熟练掌握行列式的性质,可以迅速的简化行列式,方便计算。例题:作业P1第2题
05、计算行列式
(1)计算二阶行列式:
①方法(首选):=(即,左上角×右下角-右上角×左下角)
②方法:==
例题:课本P14
(2)计算三阶行列式:
==(-1)1+1M11+(-1)1+2M12+(-1)1+3M13
N阶行列式的计算以此类推。通常先利用行列式的性质对行列式进行转化,0元素较多时方便计算.(r是row,即行。c是column,即列)
例题:课本P5、课本P9、课本P14、作业P1第4题、作业P2第3小题
(3)n阶上三角行列式(0元素全在左下角)与n阶下三角行列式(0元素全在右上角):
D=…(主对角线上元素的乘积)
例题:课本P10、作业P3第4小题
有的题可以通过“从第二行起,将各行的元素对应加到第一行”转化成上三角行列式
例题:课本P11
(4)范德蒙行列式:详见课本P12-13
(5)有的题可以通过“从第二行起,将各行的元素对应加到第一行”提取出“公因式”,得到
元素全为1的一行,方便化简行列式。
例题:作业P2第1小题、作业P2第2小题
06、矩阵中未写出的元素
课本P48下面有注明,矩阵中未写出的元素都为0
07、几类特殊的方阵
详见课本P30-32
(1)上(下)三角矩阵:类似上(下)三角行列式
(2)对角矩阵:除了主对角线上的元素外,其他元素都为0
(3)数量矩阵:主对角线上的元素都相同
(4)零矩阵:所有元素都为0,记作O
(5)单位矩阵:主对角线上的元素都为1,其他元素全为0,记作E或En(其行列式的值为1)
08、矩阵的运算规则
(1)矩阵的加法(同型的矩阵才能相加减,同型,即矩阵A的行数与矩阵B的行数相同;
矩阵A的列数与矩阵B的列数也相同):
①课本P32“A+B”、“A-B”
②加法交换律:A+B=B+A
③加法结合律:A+(B+C)=(A+B)+C
(2)矩阵的乘法(基本规则详见课本P34阴影):
①数与矩阵的乘法:
“kA”
II.=kn(因为k只等于用数k乘以矩阵A的一行或一列后得到的矩阵的行列式)
②同阶矩阵相乘(高中理科数学选修矩阵基础):
×=
描述:令左边的矩阵为①,令右边的矩阵为②,令计算得到的矩阵为,则
A的值为:①中第1行的每个元素分别乘以②中第1列的每个元素,并将它们相加。
即A=×+×
B的值为:①中第1行的每个元素分别乘以②中第2列的每个元素,并将它们相加。
即B=×+×
C的值为:①中第2行的每个元素分别乘以②中第1列的每个元素,并将它们相加。
即C=×+×
D的值为:①中第2行的每个元素分别乘以②中第2列的每个元素,并将它们相加。
即D=×+×.
×=
描述:令左边的矩阵为①,令右边的矩阵为②,令计算得到的矩阵为,则
A的值为:①中第1行的每个元素分别乘以②中第1列的每个元素,并将它们相加。
即A=×+×+×
B、C、D、E、F、G、H、I的值的求法与A类似。
③数乘结合律:k(lA)=(kl)A,(kA)B=A(kB)=k(AB)
④数乘分配律:(k+l)A=kA+lA,k(A+B)=kA+kB
⑤乘法结合律:(AB)C=A(BC)
⑥乘法分配律:A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC
⑦需注意的:
、交换律不成立
,(AB)k≠AkBk,因为矩阵乘法不满足交换律
:(A+B)2不一定等于A2+2AB+B2,(A+B)2不一定等于A2+2AB+B2,(A+B)(A-B)不一定等于A2-=BA时,以上三个等式均成立
(3)矩阵的转置运算规律:
①(AT)T=A
②(A±B)T=AT±BT
③(kA)T=kAT
④(AB)T=BTAT
⑤(ABC)T=CTBTAT
⑥(ABCD)T=DTCTBTAT
(4)同阶方阵相乘所得的方阵的行列式等于两个方阵的行列式的乘积:(详见课本P46)
=
(5)例题:课本P35、课本P36-37、课本P40第4大题、课本P40第5大题、课本P51第1
大题、课本P51第4大题、课本P60第4大题、作业P5全部、作业P5第3大题、作业
P5第4大题
09、矩阵多项式
详见课本P36
10、对称矩阵
(1)对称矩阵、实对称矩阵、反对称矩阵的概念(详见课本P37)
(2)①同阶对称(反对称)矩阵的和、差仍是对称(反对称)矩阵
②数与对称(反对称)矩阵的乘积仍是对称(反对称)矩阵
③对称(反对称)矩阵的乘积不一定是对称(反对称)矩阵
11、矩阵的分块
线代老师说这部分的内容做了解即可。
详见课本P38-40
12、矩阵的初等变换
三种行变换与三种列变换:详见课本P42
例题:作业P6全部
13、矩阵等价
若矩阵A经过若干次初等变换后变成矩阵B,则称矩阵A与矩阵B等价,记为AB
14、初等矩阵
(1)是由单位矩阵经由一次初等变换而得到的矩阵。详见课本P48-49
(2)设A为m×n矩阵,则对A施行一次初等行变换相当于在A的左边乘上一个相应的
m阶初等矩阵;-51
(3)课本P51第3大题
15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵
(1)对任意一个非零矩阵,都可以通过若干次初等行变换(或对换列)化为行阶梯型矩阵
(2)行阶梯形矩阵与行最简形矩阵:
若在矩阵中可画出一条阶梯线,线的下方全为0,每个台阶只有一行(台阶数即是非零行的行数),阶梯线的竖线(每段竖线的长度为一行)后面的第一个元素为非零元素,也就是非零行的第一个非零元素,则称该矩阵为行阶梯矩阵。在此基础上,若非零行的第一个非零元素为都为1,且这些非零元素所在的列的其他元素都为0,则称该矩阵为行最简形矩阵。例题:课本P45、作业P6全部、课本P51第2大题
16、逆矩阵
(1)设A为n阶方阵,如果存在n阶方阵B,使得AB=BA=E,则称方阵A是可逆的,
并称B为A的逆矩阵.(由逆矩阵的定义可知,非方阵的矩阵不存在逆矩阵)
(2)如果方阵A可逆,则A的逆矩阵是唯一的,并将A的逆矩阵记作A-1,AA-1=E
(3)n阶方阵A可逆的充要条件为≠0,并且,当A可逆时,
A-1=
(证明详见课本P54)
例题:课本P59第1大题
(4)可逆矩阵也称为非奇异方阵(否则称为奇异方阵)
(5)性质:设A,B都是n阶的可逆方阵,常数k≠0,那么
①(A-1)-1=A②AT也可逆,并且(AT)-1=(A-1)T
③kA也可逆,并且
(kA)-1=A-1
④AB也可逆,并且(AB)-1=B-1A-1
⑤A+B不一定可逆,而且即使A+B可逆,一般(A+B)-1≠A-1+B-1
⑥AA-1=EAA-1=E=1AA-1=1
A-1=
例题:、作业P7第1题
(6)分块对角矩阵的可逆性:课本P57
(7)由方阵等式求逆矩阵:
(8)单位矩阵、所有初等矩阵都是可逆的(初等矩阵是由单位矩阵经由一次初等变换而得到
的,即初等矩阵可以通过初等变换再变回单位矩阵,而单位矩阵的行列式=1≠0可逆,所
以初等矩阵可逆)
(9)初等矩阵的逆矩阵也是初等矩阵
(10)任一可逆方阵都可以通过若干次初等行变换化成单位矩阵
(11)方阵A可逆的充要条件是:A可以表示为若干个初等矩阵的乘积(证明:课本P67)
(12)利用初等行变换求逆矩阵:A-1(例题:课本P68、课本P71)
(13)形如AX=B的矩阵方程,当方阵A可逆时,有A-1AX=A-1B,即X=A-1B.
此时有:
矩阵方程的例题:课本P35、课本P69、课本P41第6大题、课本P56、课本P58、
课本P59第3大题、课本P60第5大题、课本P60第7大题、课本P71第3大题
矩阵方程计算中易犯的错误:课本P56“注意不能写成……”
17、充分性与必要性的证明题
(1)必要性:由结论推出条件
(2)充分性:由条件推出结论
例题:课本P41第8大题、作业P5第5大题
18、伴随矩阵
(1)定义:
(2)设A为n阶方阵(n≥2),则AA*=A*A=En(证明详见课本P53-54)
(3)性质:(注意伴随矩阵是方阵)
①A*=A-1
②(kA)*=·(kA)-1=kn·A-1=kn·A-1=kn-1A*(k≠0)
③|A*|=|A-1|=n·|A-1|=n·(因为存在A-1,所以≠0)=n-1
④(A*)*=(A-1)*=|A-1|·(A-1)-1=n|A-1|·(A-1)-1
=n·A=n-2A(因为AA-1=E,所以A-1的逆矩阵是A,即(A-1)-1)
⑤(AB)*=B*A*
⑥
(A*)-1=(A-1)*=
(4)例题:课本P53、课本P55、课本P58、课本P60第6大题、作业P7第2题、
作业P8全部
19、矩阵的标准形:
(1)定义:课本P61-62
(2)任何一个非零矩阵都可以通过若干次初等变换化成标准形
20、矩阵的秩:
(1)定义:课本P63
(2)性质:设A是m×n的矩阵,B是p×q的矩阵,则
①若k是非零数,则R(kA)=R(A)
②R(A)=R(AT)
③等价矩阵有相同的秩,即若AB,则R(A)=R(B)
④0≤R(Am×n)≤min
⑤R(AB)≤min
⑥设A与B都是m×n矩阵,则R(A+B)≤R(A)+R(B)
(3)n阶方阵A可逆的充要条件是:A的秩等于其阶数,即R(A)=n
(4)方阵A可逆的充要条件是:A可以表示为若干个初等矩阵的乘积。(证明:P67)
(5)设A是m×n矩阵,P、Q分别是m阶与n阶可逆方阵,则R(A)=R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)
(6)例题:课本P64、课本P66、课本P71、作业P7第3题、作业P9全部
21、矩阵的秩的一些定理、推论
线代老师说这部分的内容做了解即可。详见课本P70
22、线性方程组概念
线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组。
线性方程组经过初等变换后不改变方程组的解。
23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组(不含向量)
(1)定义:课本P81
(2)方程组的解集、方程组的通解、同解方程组:课本P81
(3)系数矩阵A、增广矩阵、矩阵式方程:课本P82
(4)矛盾方程组(方程组无解):课本P85例题
(5)增广矩阵的最简阶梯形:课本P87
(6)系数矩阵的最简阶梯形:课本P87
(7)课本P87下面有注明:交换列只是交换两个未知量的位置,不改变方程组的解。为了方
便叙述,在解方程组时不用交换列。
(8)克莱姆法则:
①初步认知:
已知三元线性方程组,其系数行列式D=.
当D≠0时,其解为:x1=,x2=,x3=.
(其中D1=,D2=,D3=)(Dn以此类推)
②定义:课本P15
③使用的两个前提条件:课本P18
④例题:课本P3、课本P16-17、课本P18、作业P3第7题
(9)解非齐次线性方程组(方程组施行初等变换实际上就是对增广矩阵施行初等行变换)例题:
课本P26、课本P42、课本P82、课本P84、课本P85、课本P86第1大题、课本P88、
课本P91、作业P10第1题
(10)解齐次线性方程组例题:课本P17、课本P18、课本P85、课本P86、课本P90、课本
P91、作业P1第5题、作业P10第2题
(11)n元非齐次线性方程组AX=b的解的情况:(R(A)不可能>R())
R(A)<R()无解
<n有无穷多个解
R(A)=R()有解
=n有唯一解