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一、知识点汇总
:不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
组成三角形的线段叫做三角形的边,相邻两边所组成的角叫做三角形的内角,简称角,相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
三角形ABC用符号表示为△,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.
注意:(1)三条线段要不在同一直线上,且首尾顺次相接;(2)三角形是一个封闭的图形;
(3)△ABC是三角形ABC的符号标记,单独的△没有意义.
三角形
等腰三角形
不等边三角形
底边和腰不相等的等腰三角形
等边三角形
2、(1)三角形按边分类:
三角形
直角三角形
斜三角形
锐角三角形
钝角三角形
(2)三角形按角分类:
3、三角形的三边关系
。
注意:(1)三边关系的依据是:两点之间线段最短;
(2)围成三角形的条件是:任意两边之和大于第三边.
4、和三角形有关的线段:
(1)三角形的中线
三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段
表示法:1、AD是△、BD=DC=.
3、AD是DABC的中线;
注意:①三角形的中线是线段;②三角形三条中线全在三角形的内部;
③三角形三条中线交于三角形内部一点;
④中线把三角形分成两个面积相等的三角形.
(2)三角形的角平分线
三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角与交点之间的线段。
表示法:1、AD是△ABC的∠、∠1=∠2=∠BAC.
3、AD平分ÐBAC,交BC于D
注意:①三角形的角平分线是线段;②三角形三条角平分线全在三角形的内部;
③三角形三条角平分线交于三角形内部一点;
(3)三角形的高
三角形的高:从三角形的一顶点向它的对边作垂线,
顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高,
表示法:1、AD是△ABC的BC上的高。2、AD⊥BC于D。
3、∠ADB=∠ADC=90°。4、AD是△ABC的高。
注意:①三角形的高是线段:高与垂线不同,高是线段,垂线是直线。
②锐角三角形三条高全在三角形的内部,直角三角形有两条高是边,钝角三角形有两条高在三角形外;
③三角形三条高所在直线交于一点.(而锐三角形的三条高的交点在三角形的内部,直角三角形三条高的交战在角直角顶点,钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。)
4、三角形的内角和定理
定理:三角形的内角和等于180°.
推论:直角三角形的两个锐角互余。
5、三角形内角外角的关系:
(1)三角形三个内角的和等于180°;
(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;
(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
(4)直角三角形的两个锐角互余.
6、三角形的外角的定义:
三角形一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.
注意:每个顶点处都有两个外角,但这两个外角是对顶角.
如:∠ACD、∠BCE都是△ABC的外角,且∠ACD=∠BCE,所以说一个三角形有六个外角,但我们每个一个顶点处只选一个外角,这样三角形的外角就只有三个了.
(1)三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和.
(2)三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角.
注意:(1)它不相邻的内角不容忽视;
(2)作CM∥AB由于B、C、D共线
∴∠A=∠1,∠B=∠2.
即∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.
那么∠ACD>∠A.∠ACD>∠B。
8、(1)多边形的定义:在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
多边形的内角:多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
多边形内角和公式:n边形的内角和等于(n-2)·180°
多边形的外角:多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
多边形的外角和:多边形的内角和为360°。
多边形的对角线:连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线。
多边形对角线的条数:
(1)从n边形的一个顶点出发可以引(n-3)条对角线,把多边形分词(n-2)个三角形。
(2)n边形共有条对角线。
(2)正多边形:在平面内,各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形。
平面镶嵌:用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,叫做用多边形覆盖平面。
9、.三角形的稳定性:
三角形的三边长确定,则三角形的形状就唯一确定,这叫做三角形的稳定性.
注意:(1)三角形具有稳定性;(2)四边形没有稳定性。(3)多边形没有稳定性。
二、题型解析
,于D,E是AD上一点。
求证:
证明:由AD⊥BC于D,可得∠CAD=∠ABC又
则可证即
说明:在角度不定的情况下比较两角大小,如果能运用三角形内角和都等于180°间接求得。
,∠C=2∠B,则∠B的范围是()
.
分析:因为为锐角三角形,所以
又∠C=2∠B,又∵∠A为锐角,为锐角
,。
°,另两个外角的比为2:3,则这个三角形的形状是()
分析:由于三角形的外角和等于360°,其中一个角已知,另两个角的比也知道,因此三个外角的度数就可以求出,进而可求出三个内角的度数,从而可判断三角形的形状。
解:∵三角形的一个外角等于160°∴另两个外角的和等于200°
设这两个外角的度数为2x,3x∴2x+3x=200解得:x=40,2x=80,3x=120
与80°相邻的内角为100°∴这个三角形为钝角三角形应选C
:如图在中,,AM是BC边的中线。
求证:
证明:延长AM到D,使MD=AM,连接BD
在和中,
在中,,而
说明:在分析此问题时,首先将求证式变形,得,然后通过倍长中线的方法,相当于将绕点旋转180°构成旋转型的全等三角形,把AC、AB、2AM转化到同一三角形中,利用三角形三边不等关系,达到解决问题的目的。很自然有。请同学们自己试着证明。
,∠B=∠C=90°,M是BC的中点,DM平分∠ADC。
求证:AM平分DAB。
证明:过M作MG⊥AD于G,∵DM平分∠ADC,MC⊥DC,MG⊥AD
∴MC=MG(在角的平分线上的点到角的两边距离相等)∵MC=MB,∴MG=MB
而MG⊥AD,MB⊥AB∴M在∠ADC的平分线上(到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上)∴DM平分∠ADC
说明:本题的证明过程中先使用角平分线的定理是为判定定理的运用创造了条件MG=MB。同时要注意不必证明三角形全等,否则就是重复判定定理的证明过程。
,已知:点C是∠FAE的平分线AC上一点,CE⊥AE,CF⊥AF,E、F为垂足。点B在AE的延长线上,点D在AF上。若AB=21,AD=9,BC=DC=10。求AC的长。
分析:要求AC的长,需在直角三角形ACE中知AE、CE的长,而AE、CE均不是已知长度的线段,这时需要通过证全等三角形,利用其性质,创设条件证出线段相等,进而求出AE、CE的长,使问题得以解决。
解:∵AC平分∠FAE,CF⊥AF,CE⊥AE∴CF=CE
∴BE=DF
设,则
在中,
在中,
答:AC的长为17。
分析:初看此题,看到DE=DF+FE后,就想把DF和FE的长逐个求出后再相加得DE,但由于DF与FE的长都无法求出,于是就不知怎么办了?其实,若能注意到已知条件中的“BD+CE=9”,就应想一想,DF+FE是否与BD+CE相关?是否可以整体求出?若能想到这一点,就不难整体求出DF+FE也就是DE的长了。
解:∵BF是∠B的平分线∴∠DBF=∠CBF又DE∥BC∴∠DFB=∠CBF∴∠BDF=∠DFB∴DF=BD同理,FE=CE∴DF+FE=BD+CE=9即DE=9故选A
:如图,中,AB=AC,∠ACB=90°,D是AC上一点,AE垂直BD的延长线于E,。求证:BD平分∠ABC
分析:要证∠ABD=∠CBD,可通过三角形全等来证明,但图中不存在可证全等的三角形,需设法进行构造。注意到已知条件的特点,采用补形构造全等的方法来解决。
简证:延长AE交BC的延长线于F易证(ASA或AAS)
于是又不难证得
∴BD平分∠BAC
说明:通过补形构造全等,沟通了已知和未知,打开了解决问题的通道。
练****题:
:等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm,则这个等腰三角形底边的长为____________。
,高AD和BE交于H点,且BH=AC,则∠ABC=__________。
,D是的∠ACB的外角平分线与BA的延长线的交点。试比较∠BAC与∠B的大小关系。
4、求证:直角三角形的两个锐角的相邻外角的平分线所夹的角等于45°。
,AB=AC,∠BAC=90°,M是AC中点,AE⊥BM。求证:∠AMB=∠CMD
【练****题答案】°
:如图所示,∠BAC是的外角,所以
因为∠1=∠2,所以∠BAC>∠2又因为∠2是的外角,所以∠2>∠B,问题得证。
答:∠BAC>∠B∵∠CD平分∠ACE,∴∠1=∠2∵∠BAC>∠1,∴∠BAC>∠2
∵∠2>∠B,∴∠BAC>∠B
4,证明:省略
:过点C作CF⊥AC交AD的延长线于F
又∠BAC=∠ACF=90°AC=AB
证明二:过点A作AN平分∠BAC交BM于N
又AN平分∠BAC
又AB=AC又AM=CM
说明:若图中所证的两个角或两条线段没有在全等三角形中,可以把求证的角或线段用和它相等的量代换。若没有相等的量代换,可设法作辅助线构造全等三角形。
(二)一元一次不等式
一、知识点汇总
考点1、一元一次不等式的定义及其解法
一元一次不等式的定义:含有一个未知数,未知数的次数是1的不等式,叫做一元一次不等式。
解一元一次不等式的步骤:(1)去分母(根据不等式性质2或3)
去括号(根据整式运算法则)
移项(根据不等式性质1)
合并同类项(根据合并同类项法则)
系数化为1(根据不等式性质2或3)
提示:,但有时候需要求不等式的某些特殊解,如整数解,非负整数解,最大整数解等,解答这些问题的关键是明确解的特征
解不等式中的移项与解方程中的移项相同,要注意改变所移项的符号,但不等号方向不变;
系数化为1时,特别注意不等号方向是否需要改变;
解不等式时,有些步骤可能用不到,根据不等式的形式灵活选择解题步骤。
考点2、一元一次不等式的应用
步骤:审:审题,分析题中已知什么,求什么;
设:设出适当的未知数;
找:找出题中的不等关系,抓住题中的关键词,如“大于”“小于”“不大于”“至多”“至少”“不超过”等;
解:解出所列的不等式;
答:检验所得结果是否符合问题的实际意义,写出答案。
提示:,根据不等式关系列出不等式是解题关键;
,不可出现“至少”“至多”“不超过”等范围的字眼,因为未知数就是一个分界点,不是范围。
二****题分析
,是一元一次不等式的是    (     ) 
A;B;C;D>