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知识点
内容
典型题
角的相关概念
理解角的定义
正角、负角、零角的定义
象限角与轴线角的表示
α是第一象限角,则2α是第象限的角.
终边在=-x上的角的集合是.
终边相同的角
与角α终边相同的角的集合为:
{β│β=α+k·360°,k∈Z}
或{β│β=α+k·2π,k∈Z}
注意:角度与弧度不能混用.
两个终边相同的角相差=2kπ(k∈Z)
与-135°角终边相同的角的集合为:
,或.
在-720°~720°之间的与-60°角终边相同的所有角为.
弧度制
、角度
弧度的换算
角α的弧度数的绝对值:│α│=
180°=π弧度
1°=弧度≈
1弧度≈°=57°18′
πrad=°.
315°=rad.
75°=rad.
弧长
扇形
面积
L弧长=│α│R=
S扇=LR=│α│R2=
已知扇形的半径为10cm,圆心角为πrad,则弧长为cm.
一个半径为5cm,面积为15cm的扇形的圆心角为弧度.
三角函
数定义
点P(x,y)是角α的终边上一点,
r=│OP│=,则:
正弦sinα=
余弦cosα=
正切tanα=
余切cotα=
正割secα=
余割cscα=
已知角α终边上一点P(m,m+10),且tanα=-4,则m=.
己知cosQ=,P(m,-1)是角Q终边上的一点,则m=.
已知角α终边上一点P(3,m),且cosα=,则m=.
已知角x终边上一点P(-1,-2),则的tanx+cosx的值是.
已知角α终边上一点P(x,1),且tanα=-3,则x的值是.
三角函数在各象限的符号
sinα、cscαcosα、secαtanα、cotα
tanα>0且cosα<0,则α是第象限的角.
若sinα·cosα<0,则α是第象限的角.
知识点
内容
典型题
同角三角函数的基本关系
平方sin2α+cos2α=1
sec2α-tan2α=1
csc2α-cot2α=1
商tanα=,cotα=
倒数tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
sinα=-,那么cosα=;
cosα=,sinα<0,则tanα=;
tanα=-4,cosα>0,则sinα=
tanα=2,则sinα·cosα=;
=.
tan1°tan2°tan3°…tan88°tan89°
=.
诱导
公式
cos(-α)=cosα
sin(-α)=-sinα
tan(-α)=-tanα
cos(α+k·2π)=cosα
sin(α+k·2π)=sinα
tan(α+k·2π)=tanα
诱导公式记忆:
符号看象限,奇变偶不变.
利用诱导公式计算或化简三角函数式的一般步骤:
⑴把所有负角的三角函数化为正角的三角函数;
⑵把一般角的三角函数化为0°~360°范围内的三角函数;
⑶然后0°~90°的三角函数;
⑷计算特殊角的三角函数值.
即:负化正←→大化小←→小化锐
=.
sin2392°+cos2148°=.
tan(-840°)的值是.
cos(-)=.
sin()=.
sin(π+α)=,则cos(π+α)=.
若sin(-α)=,则cos(3π+α)
=.
若tan=,则cos(-A)=.
和角
差角
公式
sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ
cos(α±β)=cosαcosβsinαsinβ
tan(α±β)=
sin63°cos18°-cos18°sin63°=.
cos48°cos12°-sin48°sin12°=.
=.
倍角
公式
及
万能
公式
sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos2α-sin2α
=2cos2α-1
=1-2sin2α
tan2α=
sin2α=
cos2α=
sin15°cos15°=,
1-°=.
cos215°-=.
若tanα=2,则sinαcosα=.
若sin2α=,α为第一象限角,
则sinα+cosα=.
知识点
内容
典型题
半角
公式
半角公式根号前的正负号,由α/2角所在的象限确定.
cos=±
sin=±
tan=±
==
cos215°-=.
在△ABC中,若cosAcos2-sincossinB=0,求证:∠A=∠C.
已知三角函数值求角的步骤
①根据已知三角函数值确定所求角在第几象限或终边落在坐标轴上的位置;
②求出这个三角函数值的绝对值所对应的一个锐角α1;
③写出0°~360°间的适合条件的角,其中第二、三、四象限的角依次是180°-α1、180°+α1、360°-α1;
④根据终边相同的角的同一个三角函数值相等,写出适合条件的所有角.
∠A是△ABC的一个内角,且tan(B+C)=-,则∠A=()
°°°°
若α、β∈(0,)且tanα=,
tanβ=,则α+β=()
°°°°
已知sinα=-,求α.
已知sinα=-,α∈(-2π,2π),求α.
三角
函数
的最
小正
周期
三角函数y=sinx,y=cosx的最小正周期是2π;
三角函数y=tanx,y=cotx的最小正周期是π.
正弦型y=Asin(wx+φ)、余弦型y=Acos(wx+φ)函数最小正周期的确定:
最小正周期T=
函数最大值ymax=│A│
函数最小值ymin=-│A│
函数y=5sin()的最小正周期是;最小值是.
若函数y=3sinωx的最小正周期为
4π,则ω=.
函数y=2cos2x-1的最小正周期为=.
辅助角公式
因此:
│asin±bcos│≤
函数y=sin的最小正周期是;最大值是.
△ABC的内角A满足sin2A=,则sinA+cosA=()
.-.-
知识点
内容
典型题
正弦
定理
===2R
(R为三角形外接圆半径)
三角形ABC中,a=2,b=,
∠A=45°,则∠B=.
在△ABC中,AB=4,BC=5,AC=7,则cosB=.
三角形ABC中,若a2-b2-c2=bc,则∠A=.
三角形ABC中,若a∶b∶c=3∶5∶7,则最大角∠C=.
三角形ABC中,若acosB=bcosA,则三角形ABC是三角形.
余弦
定理
a2=b2+c2-2bccosA
b2=c2+a2-2accosB
c2=a2+b2-2abcosC
求角公式:
三角形面积
公式
S=aha=bhb=chcS
=absinC=bcsinA=acsinB
边长为1的正三角形的面积为.
三角函数的常用性质:
函数
y=sinx
y=cosx
y=tanx
y=cotx
定义域
R
{x│x≠kπ+}
{x│x≠kπ}
值域
[-1,1]
R
极值
x=2kπ+,ymax=1
x=2kπ-,ymin=-1
x=2kπ,ymax=1
x=2kπ+π,ymin=-1
无
无
最小正周期
2π
π
单调性
[2kπ-,2kπ+]
增函数
[(2k-1)π,2kπ]
增函数
(kπ-,kπ+)
增函数
[kπ,(k+1)π]
减函数
[2kπ+,2kπ+]
减函数
[2kπ,(2k+1)π]
减函数
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
有界性
有界函数
│sinx│≤1
有界函数
│cosx│≤1
无界函数
无界函数