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职高数学概念与公式
初中基础知识:
相反数、绝对值、分数的运算;
因式分解:
提公因式:xy-3x=(y-3)x
十字相乘法如:
配方法如:
公式法:(x+y)2=x2+2xy+y2(x-y)2=x2-2xy+y2x2-y2=(x-y)(x+y)
一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组的解法:
代入法
消元法
(差)公式:
:
(差)公式:
集合
构成集合的元素必须满足三要素:确定性、互异性、无序性。
集合的三种表示方法:列举法、描述法、图像法(文氏图)。
注:描述法;另重点类型如:
常用数集:(自然数集)、(整数集)、(有理数集)、(实数集)、(正整数集)、(正整数集)
元素与集合、集合与集合之间的关系:
元素与集合是“”与“”的关系。
集合与集合是“”“”“”“”的关系。
注:(1)空集是任何集合的子集,任何非空集合的真子集。(做题时多考虑是否满足题意)
(2)一个集合含有个元素,则它的子集有个,真子集有个,非空真子集有个。
集合的基本运算(用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法)
(1):与的公共元素(相同元素)组成的集合
(2):与的所有元素组成的集合(相同元素只写一次)。
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(3):中元素去掉中元素剩下的元素组成的集合。
注:
逻辑联结词:
且()、或()非()如果……那么……()
量词:存在()任意()
真值表:
:其中一个为假则为假,全部为真才为真;
:其中一个为真则为真,全部为假才为假;
:与的真假相反。
(同为真时“且”为真,同为假时“或”为假,真的“非”为假,假的“非”为真;真“推”假为假,假“推”真假均为真。)
命题的非
(1)是不是
都是不都是(至少有一个不是)
(2)……,使得成立对于……,都有成立。
对于……,都有成立……,使得成立
(3)
充分必要条件
是的……条件是条件,是结论
(充分条件)
(必要条件)
(充要条件)
不等式
不等式的基本性质:
注:(1)比较两个实数的大小一般用比较差的方法;另外还可以用平方法、倒数法如:(倒数法)等。
(2)不等式两边同时乘以负数要变号!!
(3)同向的不等式可以相加(不能相减),同正的同向不等式可以相乘。
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重要的不等式:(均值定理)
(1),当且仅当时,等号成立。
(2),当且仅当时,等号成立。
(3),当且仅当时,等号成立。
注:(算术平均数)(几何平均数)
一元一次不等式的解法
一元二次不等式的解法
保证二次项系数为正
分解因式(十字相乘法、提取公因式、求根公式法),目的是求根:
定解:(口诀)大于两根之外,大于大的,小于小的;
小于两根之间
注:若,用配方的方法确定不等式的解集。
绝对值不等式的解法
若,则
分式不等式的解法:与二次不等式的解法相同。注:分母不能为0.
函数
映射:
一般地,设是两个集合,如果按照某种对应法则,对于集合中的任何一个元素,在集合中都有惟一的元素和它对应,这样的对应叫做从集合到集合的映射,记作:。
注:理解原象与象及其应用。
(1)中每一个元素必有惟一的象;
(2)对于中的不同的元素,在中可以有相同的象;
(3)允许中元素没有原象。
函数:
定义:函数是由一个非空数集到时另一个非空数集的映射。
函数的表示方法:列表法、图像法、解析式法。
注:在解函数题时可以画出图像,运用数形结合的方法可以使大部分题目变得更简单。
函数的三要素:定义域、值域、对应法则
定义域的求法:使函数(的解析式)有意义的的取值范围
主要依据:
分母不能为0
偶次根式的被开方式0
特殊函数定义域
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值域的求法:的取值范围
正比例函数:和一次函数:的值域为
二次函数:的值域求法:配方法。如果的取值范围不是则还需画图像
反比例函数:的值域为
的值域为
的值域求法:判别式法
另求值域的方法:换元法、反函数法、不等式法、数形结合法、函数的单调性等等。
解析式求法:
在求函数解析式时可用换元法、构造法、待定系数法等。
函数图像的变换
平移
翻折
函数的奇偶性:
定义域关于原点对称
若奇若偶
注:①若奇函数在处有意义,则
②常值函数()为偶函数
③既是奇函数又是偶函数
函数的单调性:
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对于且,若
增函数:值越大,函数值越大;值越小,函数值越小。
减函数:值越大,函数值反而越小;值越小,函数值反而越大。
复合函数的单调性:
与同增或同减时复合函数为增函数;与相异时(一增一减)复合函数为减函数。
注:奇偶性和单调性同时出现时可用画图的方法判断。
二次函数:
(1)二次函数的三种解析式:
①一般式:()
②顶点式:(),其中为顶点
③两根式:(),其中是的两根
(2)图像与性质:
二次函数的图像是一条抛物线,有如下特征与性质:
开口开口向上开口向下
对称轴:
顶点坐标:
与轴的交点:
一元二次方程根与系数的关系:(韦达定理)
为偶函数的充要条件为
二次函数(二次函数恒大(小)于0)
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若二次函数对任意都有,则其对称轴是。
若二次函数的两根
ⅰ.若两根一正一负,则
ⅱ.若两根同正(同负)
ⅲ.若两根位于内,则利用画图像的办法。
注:若二次函数的两根;位于内,位于内,同样利用画图像的办法。
反函数:
(1)函数有反函数的条件
是一一对应的关系
(2)求的反函数的一般步骤:
①确定原函数的值域,也就是反函数的定义域
②由原函数的解析式,求出
③将对换得到反函数的解析式,并注明其定义域。
原函数与反函数之间的关系
原函数的定义域是反函数的值域
原函数的值域是反函数的定义域
二者的图像关于直线对称
原函数过点,则反函数必过点
原函数与反函数的单调性一致
指数函数与对数函数
指数幂的性质与运算:
(1)根式的性质:
①为任意正整数,
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②当为奇数时,;当为偶数时,
③零的任何正整数次方根为零;负数没有偶次方根。
(2)零次幂:
负数指数幂:
分数指数幂:
实数指数幂的运算法则:
①②③
幂运算时,注意将小数指数、根式都统一化为分数指数;一般将每个数都化为最小的一个数的次方。
幂函数
指数与对数的互化
、
对数基本性质:①②③④
⑤⑥
对数的基本运算:
换底公式:
指数函数、对数函数的图像和性质
指数函数
对数函数
定
义
图
像
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性
质
(1)
(2)图像经过点
(3)
(1)
(2)图像经过点
(3)
利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性比较两个数的大小,将其变为同底、同幂(次)或用换底公式或是利用中间值0,1来过渡。
指数方程和对数方程
指数式和对数式互化
同底法
换元法
取对数法
注:解完方程要记得验证根是否是增根,是否失根。
数列
等差数列
等比数列
定
义
每一项与前一项之差为同一个常数
每一项与前一项之比为同一个常数
注:当公差时,数列为常数列
注:等比数列各项及公比均不能为0;
当公比为1时,数列为常数列
通项公式
推
论
(1)
(2)
(3)若,则
(1)
(2)
(3)若,则
中项公式
三个数成等差数列,则有
三个数成等比数列,则有
前项和公式
()
其
它
如:
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等差数列的连续项之和仍成等差数列
等比数列的连续项之和仍成等比数列
已知前项和的解析式,求通项:
三角函数
弧度和角度的互换:弧度,弧度弧度,弧度
扇形弧长公式和面积公式
,(记忆法:与类似)
注:如果是角度制的可转化为弧度制来计算。
任意三角函数的定义:
记忆法:S、C互为倒数
记忆法:C、S互为倒数
特殊三角函数值:
一象限
不存在
三角函数的符号判定:
口诀:一全二正弦,三切四余弦。(三角函数中为正的,其余的为负)
图像记忆法
三角函数基本公式:
(可用于化简、证明等)
(;或者反过来运用。)
(可用于已知(或)求或者反过来运用)
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诱导公式:
口诀:奇变偶不变,符号看象限。
解释:指,若为奇数,则函数名要改变,若为偶数函数名不变。
分类记忆
去掉偶数倍(即)
将剩下的写成再看象限定正负号(函数名称不变);或写成,再看象限定正负号(要变函数名称)
要特别注意以上公式中互余、互补公式及运用;做题时首先观察两角之间是否是互余或互补的关系。
已知三角函数值求角
确定角所在的象限
求出函数值的绝对值对应的锐角
写出满足条件的的角
加上周期(同终边的角的集合)
和角、倍角公式:
注意正负号相同
注意正负号相反
,
,
三角函数的图像与性质
函数
图像
性质
定义域
值域
同期
奇偶性
单调性
奇