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包含、相等、互不相容;和、积、差、对立事件。
事件运算性质:
(1);;
(2);
(3)若,则,;
(4);;
;
概率的统计定义
古典概型:
几何概型:
概率的公理化定义及概率的性质:
(1)
(2)
(3)若…,两两互不相容,则
……
(4)
(5)…两两互不相容,则
……
(6)
(7)若,则
(8)若
(9);
=
定义:
乘法公式:;
全概率公式:…两两互不相容,,…,则
贝叶斯公式:()
两个事件相互独立:
若、独立,则、独立;、独立;、独立。
若且,则“、独立”与“、互不相容
”不能同时成立。
n个事件相互独立:个事件相互独立事件两两独立
“次独立试验中恰好成功次”为,
(一)一维随机变量
;
性质:(1)不降(2),
(3)右连续
分布列的性质:①②
常见的离散型分布:
二项分布:,
超几何分布:,
几何分布:,
泊松分布:
分布密度的性质:①②
连续型随机变量的分布函数是连续函数。
对于任何实数,。
(曲边梯形面积)
常见的连续型分布:
①均匀分布:
②指数分布:
③正态分布:
;;
。
是连续型随机变量,,先求的分布函数,
的分布密度
结论:
(1)若,,则
时,;
时,
(2)若,,则
(二)二维随机变量
:
…
…
…
…
…
…
…
…
性质:①②
,分布密度是,有
分布密度的性质:①,②
对平面区域有
常见的二维连续型分布
(1)二维正态分布。
(2)平面区域上的均匀分布
有分布密度
其中的面积0
(1)离散型
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
1
(2)连续型
有分布密度,则
有分布密度
有分布密度
重要结论:若,则
,
(1)是的分布函数,分别是的分布函数,,则相互独立
(2)离散型:有分布律
则独立
(独立,)
(3)连续型:
①独立,分别有分布密度,则是的联合分布密度;
②若的边缘分布密度的乘积是的联合分布密度,则独立。
重要结论:若,则
随机变量函数的分布
重要结论:
(1)独立,且,则
(2)独立,且,,则
(3)独立,,,则
+
(4)若独立,,,,是不全为零的常数,
则
(1)定义:
离散型:
则;则
连续型:有分布密度,则
(2)随机变量函数的数学期望
;
;
。
(3)数学期望的性质
①②③
④独立,存在,则
=
(2)性质
①是任意常数,则②k2
③
④
特别,独立时,
常见分布的数学期望和方差:
分布
数学期望
方差
二项分布
泊松分布
正态分布
均匀分布
指数分布
(1)定义
(2)时,独立不相关,反之,不相关时未必有独立。
(3),则
,,(的相关系数)
且独立
(1)定义=
(2)时,
(3)性质
①
②是常数,则
③独立,则;反之,,未必独立。
④是常数,则
⑤
⑥
存在,则对任何,有
:对任意给定的,有
(或),
记做
:独立同分布(),都有分布律,则
辛钦大数定律:独立同分布(),
若,则
:独立同分布(),若,,则