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考纲要求
内容4
要求层次
A
B
C
数列
数列的概念
数列的概念和表示法
√
等差数列、
等比数列
等差数列的概念
√
等比数列的概念
√
等差数列的通项公式与前项和公式
√
等比数列的通项公式与前项和公式
√
知识点
(一)数列的该概念和表示法、
(1)数列定义:按一定次序排列的一列数叫做数列;数列中的每个数都叫这个数列的项记作,在数列第一个位置的项叫第1项(或首项),在第二个位置的叫第2项,……,序号为的项叫第项(也叫通项)记作;
数列的一般形式:,,,……,,……,简记作。
(2)通项公式的定义:如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式
说明:①表示数列,表示数列中的第项,=表示数列的通项公式;
②同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。
③不是每个数列都有通项公式。例如,1,,,,……
(3)数列的函数特征与图象表示:
序号:123456
项:456789
上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看,数列实质上是定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从1开始依次取值时对应的一系列函数值……,,…….通常用来代替,其图象是一群孤立的点
数列分类:
①按数列项数是有限还是无限分:有穷数列和无穷数列;
②按数列项与项之间的大小关系分:单调数列(递增数列、递减数列)、常数列和摆动数列
递推公式定义:如果已知数列的第1项(或前几项),且任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式
等差数列
:(d为常数)();
:
,首项:,公差:d,末项:
推广:.从而;
(1)如果,,成等差数列,:或
(2)等差中项:数列是等差数列
:
(其中A、B是常数,所以当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0)
特别地,当项数为奇数时,是项数为2n+1的等差数列的中间项
(项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项)
(1)定义法:若或(常数)是等差数列.
(2)等差中项:数列是等差数列.
(3)数列是等差数列(其中是常数)。
(4)数列是等差数列,(其中A、B是常数)。
定义法:若或(常数)是等差数列.
:
(1)当公差时,等差数列的通项公式是关于的一次函数,且斜率为公差;前和是关于的二次函数且常数项为0.
(2)若公差,则为递增等差数列,若公差,则为递减等差数列,若公差,则为常数列。
(3)当时,则有,特别地,当时,则有.
(4)若、为等差数列,则都为等差数列
(5)若{}是等差数列,则,…也成等差数列
(6)数列为等差数列,每隔k(k)项取出一项()仍为等差数列
(7)设数列是等差数列,d为公差,是奇数项的和,是偶数项项的和,是前n项的和
,
2、当项数为奇数时,则
(其中是项数为2n+1的等差数列的中间项).
(8)等差数列的前n项和,前m项和,则前m+n项和
(9)求的最值
法一:因等差数列前项和是关于的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性。
法二:(1)“首正”的递减等差数列中,前项和的最大值是所有非负项之和
即当由可得达到最大值时的值.
(2)“首负”的递增等差数列中,前项和的最小值是所有非正项之和。
即当由可得达到最小值时的值.
或求中正负分界项
法三:直接利用二次函数的对称性:由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数,故n取离二次函数对称轴最近的整数时,取最大值(或最小值)。若Sp=Sq则其对称轴为
等比数列
:,称为公比
:
,首项:;公比:
推广:,从而得或
(1)如果成等比数列,:或
注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个(两个等比中项互为相反数)
(2)数列是等比数列
:
(1)当时,
(2)当时,
(1)用定义:对任意的n,都有为等比数列
(2)等比中项:(0)为等比数列
(3)通项公式:为等比数列
(4)前n项和公式:为等比数列
依据定义:若或为等比数列
(1)当时
①等比数列通项公式是关于n的带有系数的类指数函数,底数为公比
②前n项和,系数和常数项是互为相反数的类指数函数,底数为公比
(2)对任何m,n,在等比数列中,有,特别的,当m=1时,,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。
(3)若m+n=s+t(m,n,s,t),,当n+m=2k时,得
注:
(4)列,为等比数列,则数列,,,(k为非零常数)均为等比数列.
(5)数列为等比数列,每隔k(k)项取出一项()仍为等比数列
(6)如果是各项均为正数的等比数列,则数列是等差数列
(7)若为等比数列,则数列,,,成等比数列
(8)若为等比数列,则数列,,成等比数列
(9)①当时,②当时,
,
③当q=1时,该数列为常数列(此时数列也为等差数列);
④当q<0时,该数列为摆动数列.
(10)在等比数列中,当项数为2n(n)时,,.
(11)若是公比为q的等比数列,则