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:按照的数
:
(1)已知,则在数列的最大项为
(2)数列的通项为,其中均为正数,则与的大小关系为
(3)已知数列中,,且是递增数列,求实数的取值范围
等差数列的有关概念:
:即
:,推广:
是点列所在直线的斜率.
是数列成等差数列的充要条件。
:变式:=
是数列成等差数列的充要条件。
:
若成等差数列,则称的等差中项,且;成等差数列是的条件。
⑴;反之不成立。
⑵⑶⑷成公差为的等差数列。⑸组成公差为的等差数列。⑹)当为奇数时,中;奇,偶
:
①定义法:是等差数列
②中项法:是等差数列
③通项公式法:是等差数列
④前项和公式法:是等差数列
,可考虑统一转化为两个基本量;或利用数列性质,
三数:,四数
.
练习
,若,则()
(A)(B)(C)(D)
,其中奇数项之和15,偶数项之和为30,则其公差是
A5B4C3D2
{an}中,a10<0,a11>0且a11>|a10|,Sn为其前n项和,则()
,,S20大于0
,,S21大于0
、都是公差为1的等差数列,其首项分别为、,且,、.设(),则数列的前10项和等于( )
{an}的前n项和记为Sn,若a2+a4+a15=p是一常数,则S13=
,已知,则n=.
,,其前10项的和,则其公差等于()
,等于()
,=
,若
,后3项和为146,且所有项的和为390,求这个数列项数.
(2)等差数列的前10项的和前100项的和,求前110项的和
{an}中,am=n,an=m,则am+n的值为()
(A)m+n(B)(C)(D)0
,若,,则
ABCD
,,…,为各项都大于零的等差数列,公差,则()
(A)(B)(C)++(D)=
,首项,则使前n项和成立的最大自然数n是:()
A4005B4006C4007D40084.
,前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:27,求公差;
,奇数项之和为44,偶数项之和为33,求这个数列的中间项及项数
{an}的前n项和Sn=n2-2n,bn=,证明:数列{bn}是等差数列.
,通项与前n项和之间满足
(1)求证:是等差数列,并求公差;(2)求数列的通项公式;
(3)数列中是否存在正整数k,使得不等式对任意不小于k的正整数都成立?若存在,求出最小的k,若不存在,请说明理由.
,已知①求通项;②若=242,求
,前和①求证:数列是等差数列②求数列的通项公式③设数列的前项和为,是否存在实数,使得对一切正整数都成立?若存在,求的最小值,若不存在,试说明理由。
等比数列的有关概念:
定义:如果一个数列从起,与它的的比等于常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,记为
。即
递推关系与通项公式
通项公式:推广:
等比中项:若三个数成等比数列,则称为的中项,且
是成等比数列的必要而不充分条件。
前项和公式:
等比数列的基本性质,
①;反之不真!
②
③为等比数列,则下标成等差数列的对应项成等比数列。
④仍成。
等差数列与等比数列的转化
①是等差数列是等比数列;
②是正项等比数列是等差数列;
③既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列。
等比数列的判定法
①定义法:为等比数列;
②中项法:为等比数列;
③通项公式法:为等比数列;
④前项和法:为等比数列。
练习
,则
已知数列是等比数列,且
,①求,
②若
,若在等差数列中有
成立,,类比上述性质,相应的在等比数列中,若则有等式成立。
点拨:历年高考对性质考查较多,主要是利用“等积性”,题目“小而巧”且背景不断更新,要熟练掌握。
{}共有项,奇数项之积为100,偶数项之积为120,则为____
,=4+1()且=1,若,求证:数列{}是等比数列。
,,,前项和=126,求和公比.
,=2,S99=77,求
,等比中项为B,则A与B的大小关系为______
,其中前三个数成等差数列,后三个成等比数列,且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和为12,求此四个数。
点拨:奇数个数成等比,可设为…,…(公比为);但偶数个数成等比时,不能设为…,…,因公比不一定为正数,只有公比为正时才可如此设,且公比为。
,,公比q是整数,则=___
,若,,设数列满足,且,则
,为其前n项和,若,则的值为____
,且,则=
,前项和为,若成等差数列,则的值=_
(),关于数列有下列三个命题:
①若,则既是等差数列又是等比数列;
②若,则是等差数列;
③若,则是等比数列。
这些命题中,真命题的序号是
数列的通项的求法
一、观察法(多用于选择题,填空题,解答题(需用数学归纳法证明))
:__________
:__________
:__________
:__________
:__________
二、与的关系
,求=__________
,求=
,对所有的都有,则______
,且.(Ⅰ)求数列的通项
;(Ⅱ)设的前项和为,证明:.
,且满足,()求数列的通项公式;
,且.(1)求数列的通项公式;
(2)若数列的通项公式满足,求数列的前项和。
,
(1)求数列的通项;(2)若存在,使得成立,求实数的最小值.
,,前项和,若,求
,求
三、公式法(等差数列,等比数列)
等差数列:
等比数列:
,,求数列的通项公式。
,,,且满足(1)求数列的通项公式;(2)设,求.
,且,数列(1)求数列{an}的通项公式;(2)设,求。
4.(2009全国卷Ⅱ理)设数列的前项和为已知
(I)设,证明数列是等比数列(II)求数列的通项公式。
5.(2009辽宁卷)等比数列{}的前n项和为,已知,,成等差数列
(1)求{}的公比q;(2)求-=3,求
=1,,求
四、累加法累加法(逐差相加法)或
,,则=________。
,,则=________
,则=________。
,求数列的通项公式。
,求数列的通项公式。
:累乘法(逐商相乘法)
,,则=________。
,,则=________。
,满足a1=1,(n≥2),则的通项
,求数列的通项公式。
六、(其中p,q均为常数,)。
解法(待定系数法):把原递推公式转化为:,其中,再利用换元法转化为等比数列求解。