基本不等式及其应用.docx

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基本不等式及其应用
基本不等式■vl^b<a2b
基本不等式成立的条件:a±0,b±0;
等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号
几个重要的不等式
⑴a2+b2±2ab(a,b^R);
(3)abW
a+b'
丁)
2(a,beR);
(2)号+彳三2(0,b同号).⑷三件弓2(a,beR).
以上不等式等号成立的条件均为a=b.
算术平均数与几何平均数
⑴设a±0,b±0,则a,b的算术平均数为字,几何平均数为'jOb.
(2)基本不等式可叙述为两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数;也可以叙述为两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项.
利用基本不等式求最值问题
已知x>0,y>0,贝U
⑴若x+y=s(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值孚;
(2)若xy=p(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值2币
选择题:
设x>0,y>0,且x+y=18,则xy的最大值为()

x+y_x+y
解析°・°x>0,y>0,•:2三\,xy,即xy^(2)2=81,当且仅当x=y=9时,(xy)max=81
若正数x,y满足4x2+9y2+3xy=30,则xy的最大值是()
455

解析由x>0,y>0,得4x2+9y2+3xy±2・(2x)・(3y)+3xy(当且仅当2x=3y时等号成立),•:12xy+
精选
3xyW30,即xyW2,•:xy的最大值为2
若2x+2y=l,则x+y的取值范围是()
]
A.[0,2]B.[—2,0]C.[―2,+^)
解析2」2x+yW2x+2y二1、:.2x+y^4,即2x+y^2-2,Ax+yW-2
若实数x,y满足xy>0,则匸+y+;x+2y的最大值为()
—”寸2
++—2畀
解析x+2y=
x+yx+2y
x(x+2y)+2y(x+y)x2+4xy+2y2xy1
==1+=1+2W1+
(x+y)(x+2y)x2+3xy+2y2x2+3xy+2y2x+3+2y
yx
去=4-2盪,当且仅当乂,即gy2时取等号
若函数f(x)=x+x—2(x>2)在x=a处取最小值,则a等于()
++-,./
解析当x>2时,x-2>0,fx)=(x-2)+^—+2三2、:;(x-2)X-^+2=4,当且仅当x-2二
x-2讨x-2x-2
(x>2),即x=3时取等号,即当fx)取得最小值时,x=3,即a=3
11m
已知x,ye(0,+-),2x-3=(2)y,若-+--(m>0)的最小值为3,则m等于()
2xy

解析由2%-3=(2)y得x+y=3,£+彳=扣+歹)(2+彳)=3(1+m+x+罕)吕(1+m+2\'—),(当且仅当三二罕时取等号),:・*(1+—+2./—)=3,解得m=4
41
已知直线ax+by+c—1=0(b,c>0)经过圆x2+y2—2y—5=0的圆心,贝忖+:的最小值是()




精选
解析圆x2+y2—2y—5=0化成标准方程,得x2+(y—1)2=6,•圆心为C(0,1)
V直线ax+by+c—1=0经过圆心C,・・ax0+bx1+c—1=0,即b+c=1
1±-C
4-b
+C)=
4cb
石+c+5
4cb4cb4cb
Vb,c>0,.•・石十7〉2飞.:'石==4,当且仅当石=7时等号成立.
2141
由此可得b=2c,且b+c=l,即b=3,c=3时,丘十匚取得最小值9
已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7=a6+2a5,若存在两项am,an使得\.,'aman=4a1,则++半的
最小值为(
A2
)
5
B-3
c9

25
Dp
解析由各项均为正数的等比数列{an}满足
a7=a6+2a5,可得a1q6=a1q5+2a1q4,
精选
精选
••・q2—q—2=0,解得q=2或q=—l舍去)
aman=4ax,.*.qm+n—2=16,•2m+n_2=24,.*.m+n=6
141/\14\1/n4m、、l/门3
・•—+—=公血+n)F+—)=公(5+—+—)〉公(5+2=9
mn6mn6mn62
n4m143
当且仅当m=〒时,等号成立,故m+n的最小值等于2在等差数列{an}中,an>0,且a]+a2+・・・+a10=30,则a5a6的最大值是()

解析Va]+a2+…+a10=30,・•5(a1+a10)=30,即a1+a10=a5+a6=6,Va5+a6>^?'a5a6,
.•6>^;'a5a6,即a5a6<9,当且仅当a5=a6时取等号,.・a5a6的最大值为9
12
若实数a,b满足a+b=Jab,则ab的最小值为()

解析依题意知a>0,b>0,则寸+|>2\圧=彗|,当且仅当寸=|,即b=2a时,“=”成立.
]99F)
Va+b=\/ab,・^・*ab>-^|,即ab>2\;'2,・・ab的最小值为2农
精选
精选
2
精选
已知a>0,b>0,a,b的等比中项是1,且m=b+a,n=a+b,则m+n的最小值是(


解析
由题意知:ab二1
Am=b+a=2b,n
二2a,
m+n=2(a+b)±4Jab=4
精选
2
精选
若a,b都是正数,则[1+|)(1+¥)的最小值为()

解析Va,b都是正数,.•.[1+£)[1+芽卜5+#+¥±5+2\£¥=9,当且仅当b=2a>0时取等号
31m
已知a>0,b>0,若不等式a+b±a+3b恒成立,则m的最大值为()

31、m31、9ba,
解析由a+訐a+b,得mW(a+3b)(a+b)二万+b+6
又乎+b+6±2J9+6二12,•:mW12,•:m的最大值为12
1112已知a>0,b>0,a+b=a+b,贝抵+b的最小值为()
-/
11a+b1212l12、f2
解析由a>o,b>o宀方匕+厅二匚庆,得ab=1,则a+b±2、;;b二2沱当且仅当a二汗即a二亍,
b=..辽时等号成立
14
已知a>0,b>0,a+b=2,则y=^+b的最小值是()
■


解析
14114
依题意,得a+bp(a+b)・(a+b)=
9
精选
2
精选
精选
2
精选
当且仅当
b4a
a
24149
即a=2,b=4时取等号,即a+4的最小值是9
a>0,b>0,
精选
2
精选
若log4(3a+4b)=log2\Gb,则a+b的最小值是()
+++4../+4羽
\'ab>0,
解析由题意得1ab^0,
.Ia>0,
[b>0.
精选
2
精选
3a+4b>0,
3a4b
万•万=7+
4羽,当且仅当書二乎时取等号
又log4(3a+4b)二log2\;‘ab,・°・log4(3a+4b)二log4ab,:.3a+4b=ab,故扌+|=1..433a4b、
・・a+b=(a+b)G+y不+万±7+2
1119
若正数a,b满足1+&1,则宀+宀的最小值是()
aba-1b-1

解析•・•正数a,b满足-+1=1,・:b二亠>0,解得a>1,同理可得b>1,:•丄+旦二丄+aba-1a-1b-1a-1
91114
——=+9(a-1)±2•9(a-1)=6,当且仅当'=9(a-1),即a二3时等号成立,
a-1a-1Ma-1a-13
a-1'
:最小值为6
设f(x)=lnx,0VaVb,若p=/^^/oI),q=f‘
==r>p
(a+b\
r=|(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是()
=rVq
=r>q
a+b
•:~1~
>\'ab
精选
2
精选
精选
2
精选
又・・・fx)=lnx在(0,+-)上为增函数,故卜几価),即q>p.
I2丿
又r=
+f(b))=
11
+lnb)=qina+qlnb=
=f(Jab)=p,故p=rvq
精选
2
精选
精选
2
精选
已知函数f(x)=x■-(p为常数,且p>0),若f(x)在(1,+*)上的最小值为4,则实数p的值为()
x-1
精选
2
精选


c9
4
d・4
精选
2
精选
解析由题意得x-1>0,f(x)=x-1+'+l±2\:‘p+l,当且仅当x=\p+1时取等号,
x-1、
9
•・7^)在(1,+-)上的最小值为4,・・・2\4+1二4,解得p二才
填空题:
已知x,y$R+,且x+4y=1,则xy的最大值为
1
Ix=2解析1=x+4y±2羽石=4历,・・・xyW(4)2=16,当且仅当x=4y=2,即<1时,(xy)max二16
ly=8
已知实数m,n满足m・n>0,m+n=—1,贝U£++的最大值为
解析
1,・m<0,n<0,・
11
+—=
mn
(m+n)(丄+片二-(2+冬+mjw-2-2
、7\mn丿vmn丿
nmmn
精选
2
精选
精选
2
精选
=-4,当且仅当m=n=-2时,m+1取得最大值-4
已知xv|,则f(x)=4x—2+4x士的最大值为
解析•••xv4,・・・5-4x>0,贝I」f(x)=4x-2+—=-(5-4x+—)+3<-2+3=1.
44x-55-4x
当且仅当5-4x=—,即x=1时,等号成立•故f(x)=4x-2+「的最大值为1
5-4x4x-5
x2+2
x—1
(x>1)的最小值为
精选
2
精选
精选
2
精选
函数y=-
x
x—1
的最大值为
x2+2
解析y=-=
x-1
(x2-2x+1)+(2x-2)+3(x-1)2+2(x-1)+33—
==(x-1)++2三2绪3+2
x-1x-1x-1
当且仅当(x-1)=
3
,即x=\:3+1时,等号成立
(x-1)
精选
2
精选
解析
令t二冷xm,则x=t2+1,Ay二
t_tt2+1+3+tt2+t+4
当t_0,即
x_1时,y_0;当t>0,即x>1时,y_
1
4
t+7+1
•・・t+4三2韶二4(当且仅当t_2时取等号),Ay_一4<5,即y的最大值为5(当t_2,即x_5时
t+~+1
t
y取得最大值).
若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是
解析
由x+3y_5xy
+5X_1
.13943x12v1312
••3x+4y_(3x+4y)(5y+5X)_5+5+5y+3X三了+y_5
已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为
9-3y
解析由已知得x_一,Vx>0,y>0,Ay<3,
1+y
—•(3y+3)・6_6,
1+y
9-3y3y2+93(1+y)2-6(1+y)+1212
1+y
.*.x+3y_+3y___+(3y+3)-6^2
1+y1+y1+y1+y
12
当且仅当_3y+3,即y_1,x_3时,(x+3y)mjn_6min1+y
已知函数f(x)=兀[+1口@三只),若对于任意x$N+,f(x)三3恒成立,则a的取值范围是
x2+ax+118
解析对任意xGN+,fx)±3恒成立,即±3恒成立,即知a±-(x+-)+3
+x+1x
817
设g(x)_x+x,x^N+,则g(2)_6,g(3)_^
178888
Tg(2)>g(3),・・・g(x)min_^,•-(x+x)+3<-3,Aa三-3,故a的取值范围是[-3,+^)
12
已知x>0,y>0,且x+y—1,则x+y的最小值是
解析\*x>0,y>0,Ax+y_(x+y)(-+?)_3+x^^±3+2../2(当且仅当y2x时取等号),
精选
2
精选
xyxy'、
・••当x_\;'2+1,y_2+*时,(x+y)min_3+^.'2
精选
2
精选
3
函数y=1~2x—x(xvO)的最小值为.
x
333
解析\*x<0y—1-2x-%—1+(-2x)+(-%)三1+2.、;'(-2x)・—1+2寸6,当且仅当x
取等号,故y的最小值为1+2\/6
若关于x的方程9x+(4+a)3x+4=0有解,则实数a的取值范围是.
4
解析分离变量得-(4+a)=3%+3x^4,得aW-8
设a+b=2,b>0,则2^|+¥取最小值时,a的值为.
1lai2laia+blaiablaLa宀blaia
解析・a+b-2,••丽+万=4|0l+万—■41a"+万=4id+4ial+沪丽+2\丽乂万=4ia
+1,
当且仅当金弓时等号成立
又a+b—2,b>0,•:当b--2a,a--2时,2^+罟取得最小值
2
若当x>—3时,不等式aWx+%+3恒成立,则a的取值范围是.
22
解析设f(x)—x+'—(x+3)+-3,
x+3x+3
•・•%>-3,所以x+3>0,故fx)±2“..;;(x+3)X-^-3—2\:2-3,
%+3
当且仅当x—詁2-3时等号成立,・・・a的取值范围是(-,2寸2-3]
若对于任意x>0,x2+3x+iWa恒成立,则a的取值范围是.
解析
x11
-—1,Tx>0,•x+x±2(当且仅当x—1时取等号),
x2+3x+13+x+丄x
x
111
则1W—5
3+X+13+25
x
,即的最大值为5,故a±5・
x2+3x+155
解答题:
精选
2
精选