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有
若将波包看成一个准粒子,则粒子的速度为
布里渊区的宽度:2/a,而假设k很小,一般要求
即
推广到三维情况,电子速度为
注意,这里给出了把Bloch波当作准经典粒子处理的条件。
由于Bloch波有色散,一个稳定的波包所包含的波矢范围△k
应是一个很小的量。Bloch波有独立物理意义的波矢被限制
在第一布里渊区内,因为测不准关系
这表明,如果波包的大小比原胞尺寸大得多,晶体中电子的
运动就可以用波包的运动规律来描述。对于输运现象,只有
当电子平均自由程远大于原胞尺寸的情况下,才可以把晶体
中的电子当作准经典粒子,波包移动的速度(群速度)等于
处于波包中心处粒子所具有的平均速度。
附录:更简明的说明:
量子力学告诉我们,晶体中处于状态的电子,在经
典近似下,其平均速度相当于以k0为中心的波包速度,而
波包的传播速度是群速度:
量子力学中的德布罗意关系:
所以电子的平均速度:
考虑到不同能带的电子,晶体中电子速度的一般表述:
这个公式表达了一个非常重要的事实,那就是:
晶体中电子的平均速度只与能量和波矢有关,对时间和空间而言,它是常数,因此平均速度将永远保持不变而不衰减。也就是说可以一直流动下去而不衰减。这意味着:电子不会被静止的原子所散射,严格周期性晶体的电阻率为零。
这一点和自由电子论中离子是作为散射中心对电子产生散射而影响电子的平均(漂移)速度的概念完全不同。
下一节还将仔细分析这种情况。
换句话说:若电子处于一个确定的状态时,只要晶格的
周期性不变,则永远处于这个态,因此,只要这种情况不变,
则电子将以同样的速度在整个晶体中不断运动,而不被任何晶
格所阻碍,即电子速度是一个常数,因为晶格对传播速度的影
响,都已经通过能量包括在内了。
当然,晶格对周期性的偏离会引起电子的散射,使它的速
度发生变化,例如,电子在热振动的晶格中运动,会和声子多
次碰撞,对电子的速度产生极大影响;此外,外加电场和磁场
也会对电子运动速度带来变化,以后将陆续讨论到这些情况。
这个公式还表明:电子速度的方向为k空间中能量梯度的方向,即垂直于等能面。因此,电子的运动方向决定于等能面的形状,在一般情况下,在k空间中,等能面并不是球面,因此,v的方向一般并不是k的方向。下图比较准确地反映了Bloch电子的这一特点。
只有当等能面为球面,或在某些特殊方向上,v才与k的方
向相同。电子运动速度的大小与k的关系,以一维为例说明
在能带底和能带顶,E(k)取极值,
因此,在能带底和能带顶,电子速度v=0。
E(k)
v(k)
而在能带中的某处:
电子速度的数值最
大,这种情况与自由电子的速度总是随能量的增加而单调上升是完全不同的。
上页图取自黄昆书图5-2,右图表示的更准确,一维晶格的能带结构(上图)相应的电子速度(下图),虚线表示自由电子的速度。
这种变化可用NEF模型来解释:在区心处,电子可以用平面波描写,因而速度成线性变化,但随着k值的增加,自由波受晶格散射波的影响越来越大,散射波对入射波的消弱越来越明显,直到布里渊区边界,强的Bragg反射使散射波和入射波相等,所以波速度为零。这个结果和一切幅射波在有周期性的晶体中的传播是一样的。
:
在外场中,电子所受的力为F,在dt时间内,外场对电子所做的功为Fvdt
根据功能原理,有
在平行于v的方向上,dk/dt和F的分量相等;当
F与速度v垂直时,不能用功能原理来讨论电子能
量状态的变化,但是我们仍可以证明在垂直于速度
的方向上,dk/dt和外力F的分量也相等。