函数黎曼可积性关于.doc

文档介绍：函数黎曼可积性深究
罗俊逸
以下的“可积”皆指“黎曼可积”。
定义1:称有界函数f为[a,b]上的次级离散函数(简称次离散函数),
若:1、f仅有有限个间断点;
或:2、f有无限个间断点,所有这些间断点仅有有限个聚点。
定义2:在闭区间[a,b]上,连续函数与次离散函数统称次级函数。
定义3:称有界函数f为[a,b]上的超级离散函数(简称超离散函数),若f有无限个间断点且它们有无限个聚点。
性质:[a,b]上的任何有界离散函数,要么是次离散函数,要么是超离散函数。(这是显然的)
根据定义和性质,[a,b]上的所有有界函数的集合关系如下:
连续函数
次级离散函数
超级离散函数
次级函数
离散函数

定理1:所有次级函数可积。
推论1:若f为[a,b]上的连续函数,则f在[a,b]上可积。
推论2:若f是[a,b]上只有有限个间断点的有界函数,则f在[a,b]上可积。
定义4:设f为[a,b]上的超离散函数,若存在[a,b]上的次级函数g,任取I∈[a,b],g在I上有f上的无穷个点,则称f在[a,b]上可聚,g称为f的聚集函数(简称聚函数)。
定理2(可聚性定理):任何超离散函数f可聚,即f至少有一个聚函数。
定理3:超离散函数f可积的充要条件是:f唯一可聚,即f仅有唯一的聚函数。
定理4:设f是定义在[a,b]上的可积超离散函数,其聚函数是g,
则:abf(x)dx=abg(x)dx
补充:
为方便叙述,笔者自做了些定义,若有冒犯前辈的文献,请谅解。
本文的主要思想是函数的划归,点有聚点,函数也可有聚函数。