文档介绍：该【微积分下册主要知识点 】是由【飞行的大山】上传分享，文档一共【20】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【微积分下册主要知识点 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。一、第一换元积分法(凑微分法)
g[(x)](x)dxg(u)duF(u)CF[(x)]C.
积分种类
换元公式
(ax
b)dx
1
f(ax
b)d(ax
b)(a0)
u
ax
b
a
2.
f(x)x
1dx
1
f(x)d(x)
(
0)
u
x
3.
f(ln
x)
1
f(ln
x)d(ln
x)
u
lnx
dx
x
第
4..
f(ex)
exdx
f(ex)dex
u
ex
一
5.
f(ax)axdx
1
f(ax)dax
换
a
u
ax
ln
元
6.
f(sin
x)
cosxdx
f(sin
x)dsin
x
u
sin
x
积
7.
f(cos
x)
sin
xdx
f(cosx)dcosx
u
cosx
分
8.
f
(tan
x
)sec2
xdx
f
(tan
)
tan
x
法
xd
u
tan
x
9.
f(cot
x)csc2
xdx
f(cot
x)dcotx
u
cot
x
10.
f(arctan
x)
1
dx
f
(arctan
x)d(arctanx)
u
arctan
x
1x
2
11.
f(arcsin
x)
1
dx
f(arcsinx)d(arcsinx)
1
x
2
u
arcsin
x
f(x)dxf[(t)](t)dtF(t)CF[(x)]C,
二、
常用
凑微
分公
式
三、
第二
换元
法
注:以上几例所使用的均为三角代换,三角代换的目的是化掉根式,其一般规律以下:当被积函数中含有
a)
a2
x2,
b)
x2
a2,
可令
可令
asint;
atant;
c)x2a2,可令xasect.
当有理分式函数中分母的阶较高时,常采纳倒代换x1.
t
四、积分表续
分部积分公式:
udv
uv
vdu
()
uvdx
uv
uvdx
()
分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数(或微分),
以下种类的被积函数常考虑应用分部积分法(此中m,n都是正整数).
两点增补规定:(a)当a
b时,
b
(b)
当a
b时,
b
a
a
f(x)dx
0;
a
f(x)dxf(x)dx.
b
性质1
b
fxgxdx
b
fxdx
b
xdx
[
g
()
(
)]
(
)
(
).
a
a
a
性质2
bkf(x)dx
k
bf(x)dx,
(k为常数).
a
a
性质3
b
c
b
f(x)dx
a
f(x)dx
f(x)dx.
a
c
性质4
b
b
ba.
1dx
dx
a
a
性质5
若在区间
上有
b
xdx
b
x
dx
(a
b).
[a,b]
f(x)
g(x),
则f
g
,
()
()
a
a
推论1
若在区间
[a,b]上
f(x)
0,
则
b
0,
(a
b).
f(x)dx
a
推论2
b
f(x)dx
b
(a
b).
|f(x)|dx
a
a
性质6
(估值定理)设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值及最小
值,则
性质7(定积分中值定理)假如函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则在[a,b]上起码存在一个点,使
一、引例
x
二、积分上限的函数及其导数:(x)f(t)dt
a
定理2若函数f(x)在区间[a,b]上连续,则函数就是f(x)在[a,b]上的一个原函数.
三、牛顿—莱布尼兹公式
定理3若函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数,则
b
F(b)F(a).
()
f(x)dx
a
公式()称为牛顿—莱布尼茨公式.
一、定积分换元积分法
定理1设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,函数x
(t)知足条件:
(1)()a,
()b,
且a
(t)
b;
(2)(t)在[,
](或[
,])上拥有连续导数,则有
b
(t)dt.
()
f(x)dx
f[(t)]
a
公式()称为定积分的换元公式.
,在应用定积分的换
元公式时应注意以下两点:
(1)用x(t)把变量x换成新变量t时,积分限也要换成相应于新变量t的
积分限,且上限对应于上限,下限对应于下限;
(2)求出f[(t)](t)
的一个原函数
(t)后,不用象计算不定积分那样再把(t)
变换成原变量x的函数,而只需把新变量t的上、下限分别代入
(t)而后相减就
行了.
二、定积分的分部积分法
b
b
b
b
udv
[uv]abvdu或
uvdx[uv]ab
vudx
a
a
a
a
一、无量限的广义积分
二、无界函数的广义积分
一、微元法
定积分的全部应用问题,一般总可按“切割、乞降、取极限”三个步骤把
所求的量表示为定积分的形式.
能够抽象出在应用学科中宽泛采纳的将所求量U(总量)表示为定积分的
方法——微元法,这个方法的主要步骤以下:
由切割写出微元依据详细问题,选用一个积分变量,比如x为积分
变量,并确立它的变化区间
[a,b]
,任取
[a,b]
的一个区间微元
[x,x
dx]
,求出相
应于这个区间微元上部重量
U的近似值,即求出所求总量
U的微元
dU
f(x)dx;
(2)由微元写出积分
依据dU
f(x)dx写出表示总量
U的定积分
微元法在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中拥有宽泛的应
用,本节和下一节主要介绍微元法在几何学与经济学中的应用.
应用微元法解决实质问题时,应注意以下两点:
(1)所求总量
U对于区间
[a,b]应拥有可加性,即假如把区间
[a,b]
分红很多
部分区间
,
则U
相应地分红很多部重量
,而U
等于全部部重量
U之和.
这一要
求是由定积分观点自己所决定的
;
(2)使用微元法的重点是正确给出部重量
U的近似表达式
f(x)dx,即便得
f(x)dx
dU
U.
在往常状况下,要查验
Uf(x)dx
能否为
dx的高阶无量小并
非易事,所以,在实质应用要注意
dU
f(x)dx
的合理性
.
二、平面图形的面积
1)直角坐标系下平面图形的面积
2)极坐标系下平面图形的面积
曲边扇形的面积微元
dA
1[r()]2d
2
所求曲边扇形的面积
A
1[()]2d.
2
三、旋转体:.
旋转体的体积微元
所求旋转体的体积
dV
[f(x)]2dx,
b
()]2
.
V
[
f
dx
x
a
四、平行截面面积为已知的立体的体积:假如一个立体不是旋转体,但却知道该立体上垂直于必定轴的各个截面面积,那么,这个立体的体积也可用定积分来计算.
体积微元dVA(x)dx,
所求立体的体积V
、空间直角坐标系
b
A(x)dx.
a
在平面分析几何中,我们成立了平面直角坐标系,并经过平面直角坐标
系,把平面上的点与有序数组(即点的坐标(x,y)),为了把空间的任一点与有序数组对应起来,我们来成立空间直角坐标系.
过空间必定点O,作三条互相垂直的数轴,挨次记为x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴),(图6-1-1).
.
二、空间两点间的距离
三曲面及其方程
定义1在空间直角坐标系中,假如曲面S上任一点坐标都知足方程
F(x,y,z)0,而不在曲面S上的任何点的坐标都不知足该方程,则方程
F(x,y,z)0称为曲面S的方程,而曲面S就称为方程F(x,y,z)0的图形
空间曲面研究的两个基本问题是:
(1)已知曲面上的点所知足的几何条件,成立曲面的方程;
已知曲面方程,研究曲面的几何形状.
平面
用三元一次方程
AxByCzD0
()
来表示,、B、C、()称为平面的
一般方程.
柱面
定义2平行于某定直线并沿定曲线
C挪动的直线L所形成的轨迹称为柱面.
这条定曲线C称为柱面的准线,动直线L称为柱面的母线.
二次曲面
在空间直角坐标系中,我们采纳一系列平行于坐标面的平面去截割曲面,从而获得平面与曲面一系列的交线(即截痕),,简称为截痕法.
椭球面x2
a2
椭圆抛物面
双曲抛物面
单叶双曲面
双叶双曲面
y2
z2
1
(a
0,b
0,c
0)
()
b
2
c
2
z
x2
y2
(p与q同号)
2p
2q
x2
y2
z(
p与q同号)
2p
2q
x2
y2
z2
1
(a
0,b
0,c
0)
a2
b2
c2
x2
y2
z2
1(a
0,b
0,c
0)
a2
b2
c2
二次锥面
x2
y2
z2
0
(a0,b0,c0)
a
2
b2
c2
一、平面地区的观点:内点、外点、界限点、开集、连通集、地区、闭地区
二、二元函数的观点
定义1设D是平面上的一个非空点集,假如对于D内的任一点(x,y),按
照某种法例f,都有独一确立的实数z与之对应,则称f是D上的二元函数,
它在(x,y)处的函数值记为f(x,y),即zf(x,y),此中x,y称为自变量,z称为
,数集{z|z
f(x,y),(x,y)D}称为该函数的值
域.
近似地,,n元函数统称为多元函
数.
二元函数的几何意义
三、二元函数的极限
定义2设函数zf(x,y)在点P0(x0,y0)的某一去心邻域内有定义,假如当
点P(x,y)无穷趋于点P0(x0,y0)时,函数f(x,y)无穷趋于一个常数A,则称A为函数
zf(x,y)当(x,y)(x0,y0)
limf(x,y)A.
x0
y0
或f(x,y)A((x,y)(x0,y0))
也记作
limf(P)A或f(P)A(PP0)
PP0
二元函数的极限与一元函数的极限拥有相同的性质和运算法例,,我们称二元函数的极限为二重极限.
四、二元函数的连续性
定义3设二元函数zf(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义,假如
limf(x,y)
f(x0,y0),
x
x0
y
y0
则称z
f(x,y)在点(x0,y0)
f(x,y)在点(x0,y0)处不连续,则
称函数z
f(x,y)在(x0,y0)处中断.
与一元函数近似,二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续
论,当要求某个二元初等函数在其定义地区内一点的极限时,只需算出函数在
该点的函数值即可.
特别地,在有界闭地区D上连续的二元函数也有近似于一元连续函数在闭
.
定理1(最大值和最小值定理)在有界闭地区D上的二元连续函数,在D
上起码获得它的最大值和最小值各一次.
定理2(有界性定理)在有界闭地区D上的二元连续函数在D上必定有界.
定理3(介值定理)在有界闭地区D上的二元连续函数,若在D上获得两个不一样的函数值,则它在D上获得介于这两值之间的任何值起码一次.
一、偏导数的定义及其计算法
定义1
设函数z
f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义,当y固定在y0而
x在x0处有增量x时,相应地函数有增量
假如lim
f(x0
x,y0)
f(x0,y0)存在,则称此极限为函数z
f(x,y)在点(x0,y0)处对
x
0
x
x的偏导数,
记为
比如,有
fx(x0,y0)lim
f(x0
x,y0)f(x0,y0).
x0
x
近似地,函数z
f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数为
lim
f(x0,y0
y)
f(x0,y0),
y
0
y
记为
上述定义表示,在求多元函数对某个自变量的偏导数时,只需把其他自变量看作常数,而后直接利用一元函数的求导公式及复合函数求导法例来计算
之.
二、对于多元函数的偏导数,增补以下几点说明:
(1)对一元函数而言,导数dy可看作函数的微分dy与自变量的微分dx的
dx
x
是一个整体.
2)与一元函数近似,对于分段函数在分段点的偏导数要利用偏导数的定义来求.
3)在一元函数微分学中,我们知道,假如函数在某点存在导数,则它在
,即便函数的各个偏导数存在,也不可以保证
函数在该点连续.
比如,二元函数
在点(0,0)的偏导数为
但从上节例5已经知道这函数在点(0,0)处不连续.
三、偏导数的几何意义
设曲面的方程为zf(x,y),M0(x0,y0,f(x0,y0))是该曲面上一点,过点M0作
平面yy0,截此曲面得一条曲线,其方程为
则偏导数fx(x0,y0)表示上述曲线在点M0处的切线M0Tx对x轴正向的斜率(图
6-3-1).同理,偏导数fy(x0,y0)就是曲面被平面xx0所截得的曲线在点M0处的切线M0Ty对y轴正向的斜率.
四、偏导数的经济意义
设某产品的需求量QQ(p,y),此中p为该产品的价钱,y为花费者收入.
记需求量Q对于价钱p、花费者收入y的偏改变量分别为
和yQQ(p,yy)Q(p,y).
易见,pQ
p
表示当价钱为p、花费者收入为y时,
为需求Q对价钱p的偏弹性.
同理,yQ
y
表示当价钱p、花费者收入为y时,.
五、科布-道格拉斯生产函数