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勾股定理证明对策计划
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勾股定理证明对策计划

【
证法1
课本的证明
)
】(
a
b
b
a
a
a
c
aa
c
b
a
b
c
b
cb
bb
c
c
a
a
b
a
b
做8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为
a、b,斜边长为c,再做三
个边长分别为a、b、c的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上能够看到,这两个正方形的边长都是
a+b,因此面积相等.
即
a2
b2
4
1abc2
4
1ab
a2
b2
c2.
2
2,整理得
【证法2】(邹元治证明)
以a、b为直角边,以c为斜边做四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积
1ab
A、E、B三点在一条直线上,
等于2
.把这四个直角三角形拼成以以下图形状,使
B、F、C三点在一条直线上,C、G、D三点在一条直线上.
∵Rt
HAE≌R
G
C
D
b
a
tEBF,
a
c
b
c
H
F
b
c
c
a
A
a
E
b
B
11
勾股定理证明对策计划
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勾股定理证明对策计划

∴∠AHE=∠BEF.
∵∠AEH+∠AHE=90o,
∴∠AEH+∠BEF=90o.
∴∠HEF=180o―90o=90o.
∴四边形EFGH是一个边长为c的
.
RtGDH≌RtHAE,
∴∠HGD=∠EHA.
∵∠HGD+∠GHD=90o,
∴∠EHA+∠GHD=90o.
又∵∠GHE=90o,
∴∠DHA=90o+90o=180o.
∴ABCD是一个边长为a+b的正方形,它的面积等于ab2
.
ab2
4
1abc2
.∴a
2
b
2
2
∴
2
c.
【
证法3赵爽证明
)
】(
以a、b为直角边(b>a),以c为斜边作四个全等直角三角形,则每个直角
1
ab
三角形的面积等于2
.把这四个直角三角形拼成以以下图形状.
D
∵Rt
DAH≌Rt
ABE,∴∠HDA=∠EAB.
b
22
c
G
F
a
C
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A
H
E
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∵∠HAD+∠HAD=90o,∴∠EAB+∠HAD=90o,
2
EF=FG=GH=HE=b―a,∠HEF=90o.
∴EFGH是一个边长为b―a的正方形,它的面积等于
2
ba.
4
1
ab
ba2
c2
b2
c2.
∴
2
.∴a2
【
证法4
1876年美国总统Garfield
证明
)
】(
以a、b
为直角边,以c为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积
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1ab
,使
∵RtEAD≌RtCBE,∴∠ADE=∠BEC.

A、E、B三点在一条直线上C.
D
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∵∠AED+∠ADE=90o,∴∠AED+∠BEC=90o.

a

ccb
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∴∠DEC=180o―90o=90o.
DEC是一个等腰直角三角形,

AbEaB
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1
c2
它的面积等于2
.又∵∠DAE=90o,∠EBC=90o
1
2
∴AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形,它的面积等于2
a
b.
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∴

1
ab
2
2
1
ab
1
c
2
b2
c2.
2
2
2
.∴a2
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【证法5】(项明达证明)
做两个全等的直角三角形,设它们的两直角边长分别为a、b(b>a),,使E、A、C三点E在一条直线上.
过点Q作QP∥BC,交AC于点P.
b
a
c
A
过点B作BM⊥PQ,垂足为M;再过点
F
33
P
b
c
M
c
N
C
a
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F作FN⊥PQ,垂足为N.
∵∠BCA=90o,QP∥BC,∴∠MPC=90o,
BM⊥PQ,∴∠BMP=90o,
BCPM是一个矩形,即∠MBC=90o.
∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90o,
ABC+∠MBA=∠MBC=90o∴∠QBM=∠ABC,又∵∠BMP=90o,∠BCA=90o,BQ=BA=c,
RtBMQ≌RtBCA.
同理可证RtQNF≌RtAEF
【证法6】(梅文鼎证明)
做四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长
分别为a、b,,使D、E、
的延伸线交DF于点P.
c
∵D、E、F在一条直线上,Rt
GEF≌RtEBD,
∴∠EGF=∠BED,
A
∵∠EGF+∠GEF=90°∴∠BED+∠GEF=90°,
∴∠BEG=180o―90o=90o.
又∵AB=BE=EG=GA=c
,
ABEG是一个边长为c的正方形.
∠ABC+∠CBE=90o.
∵RtABC≌RtEBD,∴∠ABC=∠EBD.
∴∠EBD+∠CBE=∠CBD=90o.
又∵∠BDE=90o,∠BCP=90o,BC=BD=a.


F
b
a
c
E
P
b
C
b
c
a
H
D
b
a
a
c
B
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∴,HPFG是一个边长为b的正方形.
a2
b2
S2
1ab,
c2
S2
1ab
设多边形GHCBE的面积为S,则
2
2,
∴a2
b2
c2.
【
证法7
欧几里得证明
)
】(
做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们拼成以以下图形状,使
H、C、B三点在
一条直线上,连接
G
BF、⊥DE,
H
交AB于点M,交DE于点
a
C
K
F
L.
b
a
b
M
∵AF=AC,AB=AD,
A
B
∠FAB=∠GAD,
c
∴
FAB≌
GAD,
1a2DLcE
FAB的面积等于2,
GAD的面积等于矩形ADLM
的面积的一半,
∴矩形ADLM的面积=a2.
同理可证,矩形MLEB的面积=b2.
∵正方形ADEB的面积
矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积
∴c2a2b2,即a2b2c2.
【证法8】(李锐证明)
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设直角三角形两直角边的长分别为a、b(b>a),、b、c的正方形,把它们拼成以以下图形状,使A、E、(如图).
∵∠TBE=∠ABH=90o,∴∠TBH=∠ABE.
b
B
又∵∠BTH=∠BEA=90o,BT=BE=b
T
,
8
2C
R
∴RtHBT≌RtABE.∴HT=AE=a.
D
6
∴GH=GT―HT=b―a.
H
3
1
a
M
又∵∠GHF+∠BHT=90o,
G
7
F
4
E
A
∠DBC+∠BHT=∠TBH+∠BHT=90o,
5
c
∴∠GHF=∠DBC.
Q
DB=EB―ED=b―a,∠HGF=∠BDC=90o,
∴RtHGF≌.
Q作QM⊥AG,∠BAQ=∠BEA=90o,
可知∠ABE=∠QAM,而AB=AQ=c,因此Rt
ABE≌Rt
QAM.
又Rt
HBT≌Rt

HBT≌Rt
QAM.
即S8
S5.
由Rt
ABE≌Rt
QAM,又得QM=AE=a,∠AQM=∠BAE.
∵∠AQM+∠FQM=90o,∠BAE+∠CAR=90o,∠AQM=∠BAE,
∴∠FQM=∠CAR.
又∵∠QMF=∠ARC=90o,QM=AR=a∴Rt
QMF≌Rt
ARC即S4S6.
∵
c2
S1
S2
S3
S4S5
,
a2
S1
S6
,
b2
S3
S7S8
,
又∵S7
S2,S8
S5,S4
S6,
∴a2
b2
S1
S6
S3S7
S8=S1
S4
S3
S2S5=c2,
即a2
b2
c2
.
【证法9】(辛卜松证明)
A
b
a
D
A
b
a
D
1
a2
a
ab66c
1
ab
a
ab
a
2
2
b
c
c2
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2
c
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设直角三角形两直角边的长分别为
a、b,斜边的长为

a+b的正方形ABCD.
把正
方形ABCD区分红上方左图所示的几个部分,则正方形
ABCD的面积为
ab2
a2
b2
2ab;
把正方形ABCD区分红上方右图所示的几个部分,
a
b2
4
1ab
c2
=2ab
c2
则正方形ABCD的面积为
2
.
∴a2
b2
2ab2ab
c2
,
∴
a2
b2
c2
.
【证法10】(杨作玫证明)
做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a),
⊥AC,AF交GT
于F,⊥AF,,垂足
G
a
D
为E,DE交AF于H.
b
9
2
1
c
∵∠BAD=90o,∠PAC=90o,
c
∴∠DAH=∠BAC.
F8R
H
P
A
又∵∠DHA=90o
,∠BCA=90o
T
3
4
5
6
,
c
c
b
AD=AB=c,
Q
7
E
a
C
∴RtDHA≌Rt
BCA.
B
DH=BC=a,AH=AC=b.
由作法可知,PBCA是一个矩形,
因此RtAPB≌=
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