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《一元二次方程的解法》教课设计
教课内容
给出配方法的看法,而后运用配方法解一元二次方程.
理解一元二次方程求根公式的推导过程,认识公式法的看法.
.
教课目的
认识配方法的看法,掌握运用配方法解一元二次方程的步骤.
,给出配方法的看法,而后运用配方法解决一些详细题
目.
会娴熟应用公式法解一元二次方程.
.
重难点要点
要点:
.
.
:
,两边加上的常数是一次项系数一半的平方.
一元二次方程求根公式法的推导.
,对方程左边二次三项式的因式分解.
教课过程
一、复****引入
(学生活动)解以下方程:
(1)x2-8x+7=0(2)x2+4x+1=0
老师评论:我们前一节课,已经学****了如何解左边含有x的完整平方形式,右侧是非负
数,不能够直接开方降次解方程的转变问题,那么这两道题也能够用上边的方法进行解题.
解:(1)x2-8x+(-4)2+7-(-4)2=0
(x-4)2=9
x-4=±3即x1=7,x2=1
(2)x2+4x=-1
x2+4x+22=-1+22
(x+2)2=3即x+2=±3
x=
3
-2,x=-
3-2
1
2
二、研究新知
像上边的解题方法,经过配成完整平方形式来解一元二次方程的方法,叫配方法.
能够看出,配方法是为了降次,把一个一元二次方程转变成两个一元一次方程来解.
例:解以下方程:
(1)x2=2(2)4x2-1=0
分析:第1题直接用开平方法解;第2题可先将-1移项,再两边同时除以4化为x2=a的
形式,再用直接开平方法解之.
例:解以下方程:
(1)x2+6x+5=0(2)2x2+6x-2=0(3)(1+x)2+2(1+x)-4=0
分析:我们已经介绍了配方法,所以,我们解这些方程就能够用配方法来达成,即配一
个含有x的完整平方.
解:(1)移项,得:x2+6x=-5
配方:x2+6x+32=-5+32(x+3)2=4
由此可得:x+3=±2,即x1=-1,x2=-5
(2)移项,得:2x2+6x=-2
二次项系数化为1,得:x2+3x=-1
2
3
)
2
3
2
3
2
5
配方x+3x+(
=-1+(
)(x+
2
)=
2
2
4
由此可得x+3=±
5,即x
5-
3,x
5
-
3
2
2
1=
2
2
2=-
2
2
(3)去括号,整理得:x2+4x-1=0
移项,得x2+4x=1
x2
2
5
配方,得(+)=
x+2=±
5,即x1=
5-2,x2=-
5-2
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三、应用拓展
用配方法解方程(6x+7)2(3x+4)(x+1)=6
分析:由于假如睁开(
6x72
,那么方程就变得很复杂,假如把
6x7
)看为一个数
y
+)
(+
,那
么(6x+7)2=y2,其他的3x+4=1(6x+7)+
1,x+1=1
(6x+7)-
1,所以,方程就转变成y的方程,
2
2
6
6
像这样的转变,我们把它称为换元法.
解:设6x+7=y
则3x+4=1y+1,x+1=1y-1
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依题意,得:y2(1y+1)(1y-1)=6
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去分母,得:y2(y+1)(y-1)=72
y2(y2-1)=72,y4-y2=72
(y2-1)2=289
4
y2-1=±17
2
y2=9或y2=-8(舍)
y
3
∴=±
y3
6x7
3
6x
4
x
=-
2
当=时,
+=
=-
3
当y=-3时,6x+7=-3
6x=-10
x=-5
3
所以,原方程的根为x1=-2,x2=-5
33
用配方法解一般形式的一元二次方程:ax2+bx+b=0(a≠0)
用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.
-4ab>0时,一元二次方程ax2+bx+b=0(a≠0)有两个不等实数根;
-4ab=0时,一元二次方程ax2+bx+b=0(a≠0)有两个相等实数根;
-4ab<0时,一元二次方程ax2+bx+b=0(a≠0)没有实数根.
一般的,式子b2-4ab叫方程ax+bx+b=0(a≠0)△△=b2-4ab.
一元二次方程的鉴别式与根的状况有何关系?
(1)当方程有两个不相等的实数根时,
b2-4ab>0
(
2
)当方程有两个相等的实数根时,
b2
-
4ab
0
=
(
)当方程没有实数根时,b2-
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4ab<0
你能用公式法解方程
2x2-9x=-8吗?
解:
2x2
9x
80
1
-
+=
.变形:化已知方程为一般形式;
∵
a2
b
9
b8
2
ab
写出各项系数;
=,
=-
,
=
.
确立系数:用,
△=b2-4ab=(-9)2-4×2×8=27>0
3
b
2
-
4ab
4
计算:
的值;.代入:把相关数值代入公式计算;
.
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x
b
b2
4ac
2a
9
17
2
2
9
17
.
4
9
17
9
17
x1
4
;x2
.
4
:写出原方程的根.
用公式法解一元二次方程的一般步骤:
1、把方程化成一般形式,并写出a、b的值;
2、求出△=b2-4ab的值;
3、代入求根公式;
4、写出方程的解;
定义:先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别
等于0,从而实现降次,这类解法叫做因式分解法.
例:解以下方程
(1)x(x2)x20
(
2)5x2
2x
1
x2
2x
3
4
4
解:(1)把方程x(x
2)
x
2
0因式分解得
(x2)(x1)0→x20或x10
∴x1
2,x2
1
(2)5x2
2x
1
x2
2x
3
4
4
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移项,合并同类项,得
4x2
1
0→4x2
12
0
因式分解,得(2x1)(2x
1)
0
于是得2x1
0或2x
1
0
∴x1
1,x2
1
2
2
概括:配方法要先配方,再降次;经过配方法能够退出求根公式,公式法直接利用求根
公式;因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘,,公式法合用
于全部一元二次方程,,解一元二次方程的基本思
路是:将二次方程化为一次方程.
四、概括小结
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本节课应掌握:配方法、公式法、因式分解法的看法及用配方法解一元二次方程的步骤.
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