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椭圆的极坐标方程及其应用
x2y2
x2y2练习1.(10年辽宁理科)设椭圆C:1(ab0)的右焦点为F,过点F的直线l与椭圆C相交于
如图,倾斜角为且过椭圆C:1(ab0)的右焦点F的直线l交椭圆C于P,Q两点,椭a2b2
a2b22uuuruuur
A,B两点,直线l的倾斜角为60o,AF2FB,求椭圆C的离心率;
11
圆C的离心率为e,焦准距为p,请利用椭圆的第二定义推导PF,QF,PQ,并证明:为定值
22PFQF
22
y
P
F
2
Ox
Qx2y2
例2.(07年全国Ⅰ)已知椭圆1的左、右焦点分别为F,,D两
32121
点,过F的直线交椭圆于A,C两点,且ACBD,垂足为P,求四边形ABCD的面积的最值.
2
改为:抛物线y22px(p0)呢?
x2y23y21
例1.(10年全国Ⅱ)已知椭圆C:1(ab0)的离心率为,过右焦点F且斜率为k(k0)的练习2.(05年全国Ⅱ)P、Q、M、N四点都在椭圆x2上,
222
uuurauubur2
直线与C相交于A,3FB,求k。
yPF与FQ共线,MF与FN线,且PFMF.
B
F
x
O
A
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......
值范围.
l
例3.(07年重庆理)如图,中心在原点O的椭圆的右焦点为F(3,0),右准线的方程为x12.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)在椭圆上任取三个不同点P,P,P,使PFPPFPPFP,证明:
123122331
111
为定值,并求此定值.
|FP||FP||FP|
123
x2y2
作业1.(08年宁夏文)过椭圆1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐
54
标原点,则△OAB的面积为.
x2
作业2.(09年全国Ⅰ)已知椭圆C:y21的右焦点为F,右准线l,点Al,线段AF交C于点B。若
2
uuuruuuruuur
FA3FB,求AF。
x2y2
推广:已知椭圆1(ab0),F是椭圆的右焦点,在椭圆上任取n个不同点P,P,,P,若
a2b212n
n1n
PFPPFPPFPPFP,则,你能证明吗?
1223n1nn1|PF|ep
i1i
x2y2.
练习3.(08年福建理科)如图,椭圆1(ab0)的一个焦点是F(1,0),O为坐标原点.
a2b2
(Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程;
作业3.(15年四市二模)如图,在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD的顶点都在椭圆
(Ⅱ)设过点F的直线l交椭圆于A、,值有OA2OB2AB2,求a的取
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x2y2
1(ab0)上,对角线AC与BD分别过椭圆的左焦点F(1,0)和右焦点F(1,0),且uuuruuur
4x上的两点A、B满足AF3FB,求弦AB的中点到准线的距离.
ACBD,椭圆的一条准线方程为x4
(1)求椭圆方程;
(2)求四边形ABCD面积的取值范围。
参考答案:
x2y2
练习4.(08年安徽文)已知椭圆C:1(a>b>0),其相应于焦点F(2,0)的准线方程为x=4.
a2b2
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
42
(Ⅱ)已知过点F(-2,0)倾斜角为的直线交椭圆C于A,:AB;
12cos2
(Ⅲ)过点F(-2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点A、B和D、E,求ABDE的最小值.
1
例1.
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练习1.
例2.
练习2..
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1112
(定值)
FPFPFP3
123
2
方法二:记椭圆的右顶点为A,并设AFP(i1,2,3),不失一般性假设0,且
ii13
24
,,另设点P(x,y),则x|PF|cos3,y|PF|sin
213313iiiiiiii
(|PF|cos3)2(|PF|sin)2
Q点P在椭圆上,iiii1
i3627
11
(2cos)(i1,2,3),以下同方法一
FP9i
i
1112
(定值)
FPFPFP3
123
推广:
(n1)n
sincos()
22
x2y2引理1:coscos()cos(2)cos(n).
3.:(Ⅰ)1.
例解设椭圆方程为sin
a2b22
c3
因焦点为F(3,0),1
证明:cossin[sin()sin()]-----------------------(1)
a22222
准线l的方程为x,从而由已知
c13
cos()sin[sin()sin()]----------------------(2)
a22222
12,a236,
c……
因此6,22273312n12n1
abac.cos(n)sin[sin()sin()]----------(n1)
2222
x2y21
故所求椭圆方程为.n1
3627将上述个式子相加得
A(1,2,3)12n11
(Ⅱ)方法一:记椭圆的右顶点为,并设AFPi,不失一般性[coscos()cos(n)]sin[sin()sin()]
ii2222
224
假设0,且,(n1)n
13213313sincos()
22
c1coscos()cos(n)
又设点P在l上的射影为Q,因椭圆的离心率e,据椭圆第二定义得
iia2sin
2
a21
|FP||PQ|e(c|FP|cos)e(9FPcos)(i1,2,3)证明:记椭圆的右顶点为A,并设AFP(i1,2,,n),不失一般性
iiicii2iiii
224n
121假设0,且,,,
(1cos)(i1,2,3).1n21n31nn1n
FP92i
i又设点P在l上的射影为Q,据椭圆第二定义得
1112124ii
3(coscos()cos()a2
FPFPFP9211313|FP||PQ|e(c|FP|cos)e(i1,2,,n)
123iiicii
2413131a
又Qcoscos()cos()coscossincossin0(1ecos)(i1,2,,n).
113**********FPb2i
i
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n1a22(n1)即a2b2m2>a2-a2b2+b2对mR恒成立.
{ne[coscos()cos()]}
111
|PF|b2nn当mR时,a2b2m2最小值为0,所以a2-a2b2+b2<0.
i1i
222(n1)a2<a2b2-b2,a2<(a2-1)b2=b4,
在引理1中,令,,则coscos()cos()
1n11n1n
因为a>0,b>0,所以a<b2,即a2-a-1>0,
n(n1)(n1)
sincos()sincos()151515
11a
22n0解得a>或a<(舍去),即>,
222
sinsin
15
2n综合(i)(ii),a的取值范围为(,+).
n1na2
.
|PF|b2解法二。
i1i
练习3.
解法一:(Ⅰ)设M,N为短轴的两个三等分点,
因为△MNF为正三角形,
3
所以OFMN,
2
32b
即1=g,解得b=3.
23
x2y2
a2b214,因此,椭圆方程为1.
43
(Ⅱ)设A(x,y),B(x,y).
1122
(ⅰ)当直线AB与x轴重合时,
OA2OB22a2,AB24a2(a21),
因此,恒有OA2OB2AB2.
(ⅱ)当直线AB不与x轴重合时,
x2y2
设直线AB的方程为:xmy1,代入1,
a2b2
整理得(a2b2m2)y22b2myb2a2b20,
2b2mb2a2b2
所以yy,yy
12a2b2m212a2b2m2
因为恒有OA2OB2AB2,所以AOB恒为钝角.
uuuruuur
即OAgOB(x,y)g(x,y)xxyy0恒成立.
11221212
xxyy(my1)(my1)yy(m21)yym(yy)1
121212121212
(m21)(b2a2b2)2b2m2
1
a2b2m2a2b2m2
m2a2b2b2a2b2a2
0.
a2b2m2
又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0对mR恒成立,
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作业1.
作业2【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义,基础题。
uuuruuur2
解:过点B作BMl于M,并设右准线l与X轴的交点为N,易知FN=3FB,故|BM|.又由
3
222
椭圆的第二定义,得|BF||AF|2.
233
作业3.
作业4.
8
作业5.
3
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