第2章212第2课时.docx

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、、.
知识点一 直线方程的两点式
思考过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗?为什么?过点(2,3),(5,3)的直线呢?
答案不能,因为1-1=0,(2,3),(5,3)的直线也不能用两点式表示.
梳理
名称
已知条件
示意图
方程
使用范围
两点式
P1(x1,y1),P2(x2,y2),其中x1≠x2,y1≠y2
=
斜率存在且不为0
知识点二 直线方程的截距式
思考已知两点P1(a,0),P2(0,b),其中a≠0,b≠0,求通过这两点的直线方程.
答案由直线方程的两点式,得=,
即+=1.
梳理
名称
已知条件
示意图
方程
使用范围
截距式
在x,y轴上的截距分别为a,b且a≠0,b≠0
+=1
斜率存在且不为0,不过原点
+=1表示.(×)
(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.(√)
.(√)
类型一直线的两点式方程
例1已知三角形的三个顶点是A(4,0),B(6,7),C(0,3),求三边所在的直线方程.
解直线AB过A,B两点,由两点式得
=,整理得7x-2y-28=0.
∴直线AB的方程为7x-2y-28=0.
直线AC过A(4,0),C(0,3)两点,由两点式得
=,整理得3x+4y-12=0.
∴直线AC的方程为3x+4y-12=0.
直线BC过B(6,7),C(0,3)两点,由两点式得
=,整理得2x-3y+9=0.
∴直线BC的方程为2x-3y+9=0.
反思与感悟(1)当已知两点坐标,求过这两点的直线方程时,首先要判断是否满足两点式方程的适用条件:两点的连线不平行于坐标轴,若满足,则考虑用两点式求方程.
(2)由于减法的顺序性,,必须注意坐标的对应关系.
跟踪训练1已知△ABC的三个顶点为A(1,1),B(5,1),C(2-1,7-2).
(1)求△ABC三边所在直线的方程;
(2)求△ABC内角A,B的大小.
解(1)直线AB过点A(1,1),B(5,1),由于A,B的纵坐标相等,所以直线AB的方程为y=1.
直线AC过点A(1,1),C(2-1,7-2),
由两点式方程可得=,
整理得x-y+1-=0,
这就是直线AC的方程.
直线BC过点B(5,1),C(2-1,7-2),
由两点式方程可得=,
整理得x+y-6=0,这就是直线BC的方程.
(2)因为kAC=,所以直线AC的倾斜角α=60°.
又AB平行于x轴,所以∠A=60°.
因为kBC=-1,所以直线BC的倾斜角β=135°.
又AB平行于x轴,所以∠B=45°.
类型二直线的截距式方程
例2过点P(1,3),且与x轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是______________.
答案3x+y-6=0
解析设所求的直线方程为+=1(a>0,b>0),
由于过点P(1,3)且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积等于6,
因此有解得a=2,b=6,
故所求直线的方程为+=1,即3x+y-6=0.
反思与感悟求解此类问题的两个步骤:一是待定系数法,即根据题中条件设出直线方程,如在x轴、y轴上的截距分别为a,b(a≠0,b≠0)的直线方程常设为+=1;二是方程(组)思想,即根据已知条件,寻找关于参数的方程(组),解方程(组),得参数的值.
跟踪训练2直线l与两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为2,两截距之差为3,求直线l的方程.
解由题设知,直线l不过原点,且在x轴、y轴上的截距都大于0,设直线l的方程为+=1(a>0,b>0),
则由已知可得①
当a≥b时,①可化为
解得或(舍去);
当a<b时,①可化为
解得或(舍去).
所以直线l的方程为+y=1或x+=1,
即x+4y-4=0或4x+y-4=0.
例3过点A(3,-1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有________条.
答案3
解析当截距都为零时满足题意要求,直线为y=-x,
当截距不为零时,设直线方程为+=1,
∴∴或
即直线方程为+=1或+=1,
∴满足条件的直线共有3条.
反思与感悟如果问题中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m倍(m>0)”等条件时,若采用截距式求直线方程,则一定要注意考虑“零截距”的情况.
跟踪训练3过点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有________条.
答案2
解析设直线的两截距都是a,则有
①当a=0时,直线设为y=kx,将P(2,3)代入得k=,
∴直线l的方程为3x-2y=0;
②当a≠0时,直线设为+=1,即x+y=a,
把P(2,3)代入得a=5,
∴直线l的方程为x+y=5.
∴直线l的方程为3x-2y=0或x+y-5=0.
(-2,1)和(1,4)的直线方程为________.
答案x-y+3=0
解析代入两点式得直线方程=,
整理得x-y+3=0.
+=1,则该直线的倾斜角为____________.
答案45°
(4,0),Q(0,-3)两点的截距式方程为________________.
答案-=1
解析由两点的坐标知直线在x轴,y轴上的截距分别为4,-3,所以直线方程为+=1,即-=1.
(5,2),且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程是________.
答案x+2y-9=0或2x-5y=0
解析当y轴上截距b=0时,设直线方程为y=(5,2)代入,得y=x,即2x-5y=≠0时,设直线方程为+=1,将点(5,2)代入,得+=1,解得b=,即直线方程为+=1,整理,得x+2y-9=0.
:
①方程k=与方程y-2=k(x+1)可表示同一直线;
②直线l过点P(x1,y1),倾斜角为90°,则其方程是x=x1;
③直线l过点P(x1,y1),斜率为0,则其方程是y=y1;
④所有的直线都有点斜式和截距式方程.
正确的为________.(填序号)
答案②③
解析①中两个方程的定义域不同;④中倾斜角为90°的直线没有点斜式方程,也没有截距式方程,倾斜角为0°的直线没有截距式方程.
(x1=x2)或斜率为0(y1=y2)时,不能用两点式=求它的方程,此时直线的方程分别是x=x1和y=y1,而它们都适合(x2-x1)·(y-y1)=(y2-y1)(x-x1),即两点式的整式形式,因此过任意两点的直线的方程都可以写成(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)的形式.
,,没有截距式方程,但直线过原点时两截距存在且同时等于零.
一、填空题
-=1在y轴上的截距是________.
答案-b2
解析令x=0,得y=-b2.
(-1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距为______________.
答案-
解析由两点式=,得y=2x+3,令y=0,
有x=-,即在x轴上的截距为-.
(-1,-1),(2,5)两点,且点(1008,b)在直线l上,则b的值为__________.
答案2017
解析直线l的方程为=,
=,即y=2x+=1008,
得y=2017,所以b=2017.
+=1与坐标轴围成的图形面积为6,则a的值为________.
答案±2
解析由+=1知S=|a|·|6|=6,
所以a=±2.
,作出直线AB的直观图如图所示,若O′A′=O′B′=1,则直线AB在直角坐标系中的方程为____________.
答案2x-y-2=0
解析由斜二测画法可知在直角坐标系中,A(1,0),B(0,-2),由两点坐标可得直线方程为x-=1,
即2x-y-2=0.
(0,3),且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是____________________.
答案3x+2y-6=0
解析由题意知,直线在y轴上的截距为3,
则在x轴上的截距为2,
∴该直线的截距式方程为+=1,即3x+2y-6=0.
(3,0),B(0,4),动点P(x0,y0)在线段AB上移动,则4x0+3y0的值为________.
答案12
解析AB所在直线方程为+=1,则+=1,
即4x0+3y0=12.
(m,3)和(3,2),且在x轴上的截距是1,则m=________.
答案4
解析由直线l在x轴上的截距是1,得m≠3,所以直线的两点式方程为=.当y=0时,则x=6-2m+3=1,知m=4.
:-=1和l2:-=1在同一直角坐标系中的图象可以是_____.(填序号)
答案①
解析两条直线化为截距式分别为+=1,+=,判断a,b,从而确定l2的位置,知图象①.
,y轴上的截距的倒数之和为,则直线过定点__________.
答案(2,2)
解析由题意可设直线方程为+=1,
∴+=.
∴+=1,∴直线过定点(2,2).
,且此三角形的面积为18,则直线l的方程为________.
答案x+y±6=0,x-y±6=0
解析因为直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形,所以直线l在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0.
若l在两坐标轴上的截距相等,且设为a,
则直线方程为+=1,即x+y-a=0.
∵|a|·|a|=18,即a2=36,∴a=±6,
∴直线方程为x+y±6=0.
若l在两坐标轴上的截距互为相反数,不妨设横截距为a,则纵截距为-a,
故直线方程为+=1,即x-y-a=0.
∵|-a|·|a|=18,即a2=36,∴a=±6,
∴直线方程为x-y±6=0.
综上所述,直线l的方程为x+y±6=0或x-y±6=0.
二、解答题
(1,-1)的直线在y轴上的截距比在x轴上的截距大,求此直线的方程.
解设直线在x轴上的截距为a,则在y轴上的截距为a+,由题意可知a≠0且a≠-,
则此直线的方程为+=1.
又此直线过点(1,-1),
所以+=1,
解得a=-1或a=,