第2章212第3课时.docx

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,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不全为0).
知识点一 直线的一般式方程
思考1直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式这四种形式都能用Ax+By+C=0(A,B不全为0)来表示吗?
答案能.
思考2关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)一定表示直线吗?
答案一定.
梳理直线的一般式方程
形式
Ax+By+C=0
条件
A,B不全为0
知识点二 直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系
梳理
形式
方程
局限
点斜式
y-y0=k(x-x0)
不能表示斜率不存在的直线
斜截式
y=kx+b
不能表示斜率不存在的直线
两点式
=
x1≠x2,y1≠y2
截距式
+=1
不能表示与坐标轴平行及过原点的直线
一般式
Ax+By+C=0(A,B不全为0)
无
,B同时为零时,方程Ax+By+C=0也可表示为一条直线.(×)
.(×)
类型一直线的一般式方程
例1根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程:
(1)斜率是,且经过点A(5,3);
(2)斜率为4,在y轴上的截距为-2;
(3)经过点A(-1,5),B(2,-1)两点;
(4)在x轴,y轴上的截距分别为-3,-1.
解(1)由直线方程的点斜式得y-3=(x-5),
即x-y-5+3=0.
(2)由斜截式得直线方程为y=4x-2,
即4x-y-2=0.
(3)由两点式得=,
即2x+y-3=0.
(4)由截距式得直线方程为+=1,
即x+3y+3=0.
反思与感悟(1)当A≠0时,方程可化为x+y+=0,只需求,的值;若B≠0,则方程化为x+y+=0,只需确定,的值,因此,只要给出两个条件,就可以求出直线方程
.
(2)在求直线方程时,设一般式方程有时并不简单,常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程,然后可以转化为一般式.
跟踪训练1根据条件写出下列直线的一般式方程:
(1)斜率是-,且经过点A(8,-6)的直线方程为________________.
(2)经过点B(4,2),且平行于x轴的直线方程为________________.
(3)在x轴和y轴上的截距分别是和-3的直线方程为________________.
(4)经过点P1(3,-2),P2(5,-4)的直线方程为________________.
答案(1)x+2y+4=0(2)y-2=0(3)2x-y-3=0
(4)x+y-1=0
例2设直线l的方程为(m2-2m-3)x-(2m2+m-1)y+6-2m=0.
(1)若直线l在x轴上的截距为-3,则m=________;
(2)若直线l的斜率为1,则m=________.
答案(1)-(2)-2
解析(1)令y=0,则x=,
∴=-3,
得m=-或m=3(舍去).
∴m=-.
(2)将直线l化为斜截式方程,
得y=x+,
则=1,得m=-2或m=-1(舍去).
∴m=-2.
反思与感悟(1)方程Ax+By+C=0表示直线,需满足A,B不全为0.
(2)令x==,可将一般式化为斜截式.
(3)解分式方程注意验根.
跟踪训练2已知直线l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,当直线l1与直线l2的斜率相等,且l1与l2不重合时,求m的值.
解由题设l2的方程可化为y=-x-m,
则其斜率k2=-,
在y轴上的截距b2=-m.
∵l1与l2斜率相等,但不重合,
∴l1的斜率一定存在,即m≠0.
∴l1的方程为y=-x-.
∴
解得m=-1.
∴m的值为-1.
类型二直线方程的综合应用
例3已知直线l:5ax-5y-a+3=0.
(1)求证:不论a为何值,直线l总经过第一象限;
(2)为使直线不经过第二象限,求a的取值范围.
(1)证明将直线l的方程整理为y-=a,
∴l的斜率为a,且过定点A,
而点A在第一象限,故不论a为何值,直线l总经过第一象限.
(2)解直线OA的斜率为k==3.
∵l不经过第二象限,∴a≥3.
故a的取值范围为[3,+∞).
反思与感悟一般地,已知一点通常选择点斜式;已知斜率选择斜截式或点斜式;,若求直线与坐标轴围成的三角形的面积或周长,常选用截距式,但最后都可化为一般式.
跟踪训练3设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a+1≠0).
(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程;
(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.
解(1)由题意知a+1≠0,即a≠-1.
当直线过原点时,该直线在两坐标轴上的截距都为零,
此时a=2,即方程为3x+y=0;
当a≠2时,将方程化为截距式:+=1.
∵截距存在且均不为0,∴=a-2,
即a+1=1,
∴a=0,即方程为x+y+2=0.
(2)将l的方程化为y=-(a+1)x+a-2,
∵直线不过第二象限,
∴∴a≤-1.
即a的取值范围是(-∞,-1].
+y-4=0,且点(0,a)在直线上,则a=________.
答案4
°,在y轴上的截距为-4,则直线l的斜截式方程为________,一般式方程为________.
答案y=x-4x-y-4=0
-4y+m=0在两坐标轴上截距之和为2,则实数m=________.
答案-24
解析直线方程3x-4y+m=0可化为+=1,
则-+=2,得m=-24.
:(2m2-5m+2)x-(m2-4)y+5=0的斜率与直线l2:x-y+3=0的斜率相同,则m=________.
答案3
解析易知m≠±,直线l2的斜率为1,则=1,即2m2-5m+2=m2-4,即m2-5m+6=0,所以m=3.
(m2-3m+2)x+(m-2)y-2m+5=0表示直线.
(1)求实数m的取值范围;
(2)若该直线的斜率k=1,求实数m的值.
解(1)由题意知
解得m≠2.
(2)由=1,得m=0.
,要由问题的条件、结论,灵活地选用公式,使问题的解答变得简捷.
,它是直线在不同条件下的不同的表现形式,要掌握好各种形式的适用范围和它们之间的互化,如把一般式Ax+By+C=0(A,B不全为0)化为截距式有两种方法:一是令x=0,y=0,求得直线在y轴上的截距b和在x轴上的截距a;二是移常项,得Ax+By=-C,两边除以-C(C≠0),再整理即可.
一、填空题
(2+m-m2)x-(4-m2)y+m2-4=0的斜率不存在,则m的值是________.
答案-2
解析由题意知解得m=-2.
(2,-1),B(-4,5)的直线的一般式方程为____________.
答案x+y-1=0
解析因为直线过A(2,-1),B(-4,5)两点,所以由直线方程的两点式得直线的方程为=,化为一般式得x+y-1=0.
·C>0,B·C<0时,直线l:Ax+By+C=0必不过第________象限.
答案四
解析令x=0,得直线在y轴上的截距为-;令y=0,得直线在x轴上的截距为-.因为A·C>0,B·C<0,所以->0,-<0,所以该直线过第一、二、三象限,故该直线不过第四象限.
(2a2-7a+3)x+(a2-9)y+3a2=0的倾斜角为45°,则实数a=________.
答案
解析由题意知,斜率存在,且倾斜角为45°,
则斜率k=1,∴解得a=-.
≠0,直线ax+my-5m=0过点(-2,1),则此直线的斜率为________.
答案2
解析因为直线ax+my-5m=0过点(-2,1),所以-2a+m-5m=0,得a=-2m,所以直线方程为-2mx+my-5m=≠0,所以m≠0,所以直线方程为-2mx+my-5m=0可化为-2x+y-5=0,即y=2x+5,故此直线的斜率为2.
+by-1=0在y轴上的截距为-1,且它的倾斜角是直线x-y-=0的倾斜角的2倍,则a+b=________.
答案--1
解析∵ax+by-1=0在y轴上截距为-1,
∴=-1,b=--y-=0的倾斜角为60°,
∴直线ax+by-1=0的斜率-=tan120°,
∴a=-.∴a+b=--1.
(2,3),且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形,则直线l的方程为____________.
答案x-y+1=0或x+y-5=0
解析依题意,直线l的斜率为±1,
∴直线l的方程为y-3=x-2或y-3=-(x-2),
即直线l的方程为x-y+1=0或x+y-5=0.
(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是______________.
答案(-∞,-1)∪
解析设直线的斜率为k,如图,当过定点A的直线经过点B时,直线l在x轴上的截距为3,此时k=-1;当过定点A的直线经过点C时,直线l在x轴的截距为-3,此时k=,所以满足条件的直线l的斜率的取值范围是(-∞,-1)∪.
:ax+ay-=0(a≠0),下列说法正确的是________.(填序号)
①无论a如何变化,直线l的倾斜角大小不变;
②无论a如何变化,直线l一定不经过第三象限;
③无论a如何变化,直线l必经过第一、二、三象限;
④当a取不同数值时,可得到一组平行直线.
答案①②④
解析对③中当a>0时,直线l:ax+ay-=0(a≠0)的斜率小于0,则直线l必经过第四象限,故③是错误的.
∈R,直线kx-y-2k-1=0恒过一个定点,则这个定点的坐标为________.
答案(2,-1)
解析直线方程可化为y+1=k(x-2),它是直线的点斜式方程,故它所经过的定点为
(2,-1).
:ax-y+b=0,l2:bx-y+a=0(a≠0,b≠0,a≠b)在同一坐标系中的图形大致是________.(填序号)
答案③
解析将l1与l2的方程化为斜截式,
得y=ax+b,y=bx+a,
根据斜率和截距的符号可知图③正确.
二、解答题
、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点.
(1)当△AOB的周长为12时,求直线l的方程;
(2)当△AOB的面积为6时,求直线l的方程.
解(1)设直线l的方程为+=1(a>0,b>0),
由题意知,a+b+=12,
又因为直线l过点P,
所以+=1,即5a2-32a+48=0,
解得或
所以直线l的方程为3x+4y-12=0或15x+8y-36=0.
(2)设直线l的方程为+=1(a>0,b>0),
由题意知,ab=12,+=1,消去b,
得a2-6a+8=0,
解得或