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重难点1 由分式方程解的情况确定字母的值或取值范围
(2019·黑龙江)已知关于x的分式方程=1的解是负数,则m的取值范围是(D)
≤≤3且m≠2 <<3且m≠2
【思路点拨】 直接解方程得x,再利用x<0且x≠-1求出答案.
,求方程中字母的值,只需要将方程的解直接代入方程中计算即可.
,求方程中字母的取值范围问题,需要先用字母表示出分式方程的解,再代入解的范围,从而确定字母,但要特别注意隐含条件分式的分母不能为0.
,需分两种情况讨论:①分式方程去分母整理后出现形如ax=b时,当a=0且b≠0时,方程无解,所以分式方程无解;②去分母后的整式方程有解,但整式方程的解使最简公分母为0,
【变式训练1】 若关于x的方程=+1无解,则a的值是1或2.
重难点2 分式方程的应用
(2019·威海)某自动化车间计划生产480个零件,当生产任务完成一半时,停止生产进行自动化程序软件升级,用时20分钟,恢复生产后工作效率比原来提高了,结果完成任务时比原计划提前了40分钟,求软件升级后每小时生产多少个零件?
【思路点拨】 设软件升级前每小时生产x个零件,则软件升级后每小时生产(1+)x个零件,根据工作时间=工作总量÷工作效率结合软件升级后节省的时间,即可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出结论.
【自主解答】解:设软件升级前每小时生产x个零件,则软件升级后每小时生产(1+)x个零件,根据题意,得
-=+,解得x=60.
经检验,x=60是原方程的解,且符合题意.
∴(1+)x=80.
答:软件升级后每小时生产80个零件.
列分式方程解决实际问题的关键是找到等量关系,恰当地设出未知数,列出方程.
利用分式方程解应用题一定要注意检验,找出符合实际情况的答案.
【变式训练2】 (2019·东营)小明和小刚相约周末到雪莲大剧院看演出,他们的家分别距离剧院1200m和2000m,两人分别从家中同时出发,已知小明和小刚的速度比是3∶4,.
解:设小明的速度为3xm/min,则小刚的速度为4xm/min,根据题意,得
-=4,解得x=25.
经检验,x=25是分式方程的根,且符合题意.
∴3x=75,4x=100.
答:小明的速度是75m/min,小刚的速度是100m/min.
(2019·随州T18,6分)解分式方程:+1=.
解:原方程可化为:3+x2-x=
解得x=
检验:当x=3时,x(x-1)=6≠0,5分
∴x=
考点1 分式方程及其解法
1.(2019·河南)解分式方程-2=,去分母,得(A)
-2(x-1)=--2(x-1)=-2x-2=--2x+2=3
2.(2019·海南)分式方程=0的解是(B)
=-==±
3.(2019·哈尔滨)分式方程=的解为(D)
=-===1
4.(2019·张家界)若关于x的分式方程=1的解为x=2,则m的值为(B)
5.(2019·成都)分式方程+=1的解是(A)
==-==-3
6.(2019·株洲)关于x的分式方程+=0的解为x=4,则常数a的值为(D)
7.(2019·聊城)如果解关于x的分式方程-=1时出现增根,那么m的值为(D)
A.-.-4
8.(2019·眉山)已知关于x的分式方程-2=有一个正数解,则k的取值范围为k<6且k≠3.
:
(1)=1-;
解:去分母,得2x=x-2+1.
移项、合并同类项,得x=-1.
经检验,x=-1是分式方程的解.
(2)+=1.
解:去分母,得x2+2x+1-4=x2-1.
解得x=1.
经检验,x=1是增根.
所以分式方程无解.
考点2 分式方程的应用
10.(2019·昆明)甲、乙两船从相距300km的A,B两地同时出发相向而行,甲船从A地顺流航行180km时与从B地逆流航行的乙船相遇,水流的速度为6km/、乙两船在静水中的速度均为xkm/h,则求两船在静水中的速度,可列方程为(A)
A.=B.=C.=D.=
11.(2019·衡阳)衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树,原计划总产值30万千克,为了满足市场需求,现决定改良梨树品种,,总产量比原计划增加了6万千克,种植亩数减少了10亩,则原来平均每亩产量是多少万千克?设原来平均每亩产量为x万千克,根据题意,列方程为(A)
A.-=10 B.-=10C.-=10 D.+=10
12.(2019·临沂)新能源汽车环保节能,,今年1~5月,%,今年1~5月每辆车的销售价格是多少万元?设今年1~,列方程正确的是(
A)
A.=B.=
C.=D.=
13.(2019·岳阳)为落实党中央“长江大保护”新发展理念,我市持续推进长江岸线保护,,回填土方和复绿施工,为了缩短工期,该工程队增加了人力和设备,实际工作效率比原计划每天提高了20%,结果提前11天完成任务,求实际平均每天施工多少平方米?
方米,根据题意,得
-=11,解得x=500.
经检验,x=500是原方程的解.
∴=600.
答:实际平均每天施工600平方米.
14.(2019·重庆)若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解,且使关于y的方程+=2的解为非负数,则符合条件的所有整数a的和为(
C)
A.-3B.-
15.(2019·齐齐哈尔)若关于x的方程+=无解,则m的值为-1或5或-.
16.(2019·玉林),今年一月份销售额为30000元,,则销售额是27000元.
(1)求二月份每辆车售价是多少元?
(2)为了促销,三月份每辆车售价比二月份每辆车售价降低了10%,网店仍可获利35%,求每辆山地自行车的进价是多少元?
解:(1)设二月份每辆车售价是x元,则一月份每辆车售价为(x+100)元,根据题意,得
=,解得x=900.
经检验,x=900是原分式方程的解.
答:二月份每辆车售价是900元.
(2)设每辆山地自行车的进价是y元,
根据题意,得900×(1-10%)-y=35%y.
解得y=600.
答:每辆山地自行车的进价是600元.
17.(2019·吉林)如图是学习分式方程应用时,老师板书的问题和两名同学所列的方程.
甲、乙两个工程队,甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等,乙队每天比甲队多修20米,求甲队每天修路的长度.
冰冰:=
庆庆:-=20
根据以上信息,解答下列问题.
(1)冰冰同学所列方程中的x表示甲队每天修路的长度,庆庆同学所列方程中的y表示甲队修路400米所需时间;
(2)两个方程中任选一个,并写出它的等量关系;
(3)解(2)中你所选择的方程,并回答老师提出的问题.
解:(2)冰冰用的等量关系是甲队修路400米所用时间=乙队修路600米所用时间;
庆庆用的等量关系是乙队每天修路的长度-甲队每天修路的长度=20米.(选择一个即可)
(3)选冰冰的方程:=,解得x=40.
检验:当x=40时,x,x+20均不为零.
∴x=40.
选庆庆的方程:-=20,解得y=10.
检验:当y=10时,分母y不为0.
∴y=10,则=40.
答:甲队每天修路的长度为40米.