文档介绍：该【高中数学：平面向量的概念和线性运算 】是由【baba】上传分享，文档一共【7】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【高中数学：平面向量的概念和线性运算 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。第11讲平面向量的概念和线性运算
[玩前必备]
(1)向量的定义及表示:、B为终点的向量记作AB,也可用黑
体的单个小写字母a,b,c,…来表示向量.
(2)向量的长度(模):向量AB的大小即向量AB的长度(模),记为|AB|.
名称定义备注
零向量长度为0的向量零向量记作0,其方向是任意的
单位a
长度等于1个单位的向量单位向量记作a,a=
向量00|a|
平行方向相同或相反的非零向量(也叫共
0与任意向量共线
向量线向量)
相等相等向量一定是平行向量,平行向量
长度相等且方向相同的向量
向量不一定是相等向量
相反
长度相等且方向相反的两个向量若a,b为相反向量,则a=-b
向量
单位向量有无数个,它们大小相等,但方向不一定相同;与向量a平行的单位向量有两个,
aa
即向量和-.
|a||a|
向量运算定义法则(或几何意义)运算律
(1)交换律:
a+b=b+a;
求两个向量和的三角形法则
加法(2)结合律:
运算平行四边形
(a+b)+c=
法则
a+(b+c)
求a与b的相反向
减法量-b的和的运a-b=a+(-b)
算叫做a与b的差三角形法则
|λa|=|λ||a|;当λ>0
时,λa的方向与a的
λ(μa)=(λμ)a;
求实数λ与向量a方向相同;当λ<0时,
数乘(λ+μ)a=λa+μa;
的积的运算λa的方向与a的方向
λ(a+b)=λa+λb
相反;当λ=0时,λa
=0
▲向量加法的多边形法则
(多个向量相加,利用三角形法则,应首尾顺次连接,a+b+c表示从始点指向终点的向量,只关心始
点、终点.
向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使得b=λa.
只有a≠0才保证实数λ的存在性和唯一性.
[玩转典例]
题型一向量概念的理解
例1判断下列命题是否正确,并说明理由.
①若a≠b,则a一定不与b共线;
→→
②若AB=DC,则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点;
→→
③在平行四边形ABCD中,一定有AB=DC;
④若向量a与任一向量b平行,则a=0;
⑤若a=b,b=c,则a=c;
⑥若a∥b,b∥c,则a∥c.
[题型练透]
,并说明理由.
①若向量a与b同向,且|a|>|b|,则a>b;
②若向量|a|=|b|,则a与b的长度相等且方向相同或相反;
③对于任意|a|=|b|,且a与b的方向相同,则a=b;
④向量a与向量b平行,则向量a与b方向相同或相反.
()
,则A,B,C,D必在同一直线上
,则a与b的方向相同或相反
:①若|a|=0,则a=0;②若|a|=|b|,则a=b或a=-b;③若a∥b,则|a|=|b|;④若a
∥b,b∥c,则a∥,正确的命题有()
题型二向量的线性运算
1
例2在△中,=BC,若=a,=b,则=
ABCBD3ABACAD()
2112
++b
33B33
1221
-ba-b
例3在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=60°,AD为BC边上的高,O为AD的中点,若AO=λAB+
μBC,其中λ,μ∈R,则λ+μ等于()
1
.
2
12
.
33
例4设点M是线段BC的中点,点A在线段BC外,|BC|2=16,|AB+AC|=|AB-AC|,则|AM|
=()
[题型练透]
→
△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB等于()
3→1→1→3→
--AC
4444
3→1→1→3→
++AC
4444
→→→
,E,F分别为边BC,CD的中点,若AB=xAE+yAF(x,y∈R),则x-y=________.
1
3如图,在直角梯形中,=AB,=,且=+,则
.ABCDDC4BE2ECAErABsAD
2r+3s=________.
,b满足|a+b|=|a-b|,则()
⊥bB.|a|=|b|
∥bD.|a|>|b|
题型三两向量共线定理
例5设两个非零向量a与b不共线.
(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),求证:A,B,D三点共线;
(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.
1
例6已知为△内一点,且=(OB+),AD=,若,,三点共线,则=
OABCAO2OCtACBODt()
11
.
43
12
.
23
[题型练透]
,b是不共线的两个非零向量.
(1)若OA2ab,OB3ab,OCa3b,求证:A,B,C三点共线;
(2)若8akb与ka2b共线,求实数k的值;
(3)若ABab,BC2a3b,CD2akb,且A,C,D三点共线,求实数k的值.
题型四共线定理的推广及应用
[共线定理]已知PA,PB为平面内两个不共线的向量,设PC=xPA+yPB,则A,B,C三点共线的
充要条件为x+y=1.
[推广形式]如图所示,直线DE∥AB,C为直线DE上任一点,设PC=xPA+yPB
(x,y∈R).
当直线DE不过点P时,直线PC与直线AB的交点记为F,因为点F在直线AB上,
所以由三点共线结论可知,若PF=λPA+μPB(λ,μ∈R),则λ+μ=△PAB与△PED相似,知必存在
一个常数m∈R,使得PC=mPF,则PC=mPF=mλPA+mμPB.
又PC=xPA+yPB(x,y∈R),所以x+y=mλ+mμ=m.
:PC=xPA+yPB,则x+y=m(定值),反之亦成立.
例7如图,在正六边形ABCDEF中,P是△CDE内(包括边界)的动点,设AP=αAB
+βAF(α,β∈R),则α+β的取值范围是________.
例8如图所示,A,B,C是圆O上的三点,线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D,若OC
=mOA+nOB,则m+n的取值范围是________.
[题型练透]
π
,在扇形OAB中,∠AOB=,为弧上的动点,若=+,
3CABOCxOAyOB
则x+3y的取值范围是________.
[玩转练习]
,在正六边形ABCDEF中,BA+CD+EF=()
,λ是非零实数,下列结论中正确的是()
C.|-λa|≥|a|D.|-λa|≥|λ|·a
,b不共线,AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b,若A,B,D三点共线,则实数p的值
为()
A.-2B.-1
31|BC|
,O为坐标原点,A,B,C三点满足OC=OA+OB,则等于
44()
|AC|
3
.
2
1
5如图,在△中,点在线段上,且满足=DC,过点D的直线分别
ABCDBCBD2
交直线AB,AC于不同的两点M,N,若AM=mAB,AN=nAC,则()
+n是定值,+n是定值,定值为3
1121
C.+是定值,定值为+是定值,定值为
△ABC中,点D在线段BC的延长线上,且BC=3CD,点O在线段CD上(与点C,D不重合),若AO
=xAB+(1-x)AC,则x的取值范围是________.
,b不共线,且c=λa+b,d=a+(2λ-1)b,若c与d同向,则实数λ=________.
,且OA=a,OB=b,则DC=________,BC=
________.(用a,b表示)
1
,b是两个不共线的非零向量,且a与b起点相同,若a,tb,(a+b)三向量的终点在同一条直线
3
上,则t=________.
,AB=2DC,点E是线段BC的中点,若AE=λAB+μAD,则λ=________,μ
=________.
△ABC中,D,E分别为BC,AC边上的中点,G为BE上一点,且GB=2GE,设AB=a,AC=b,
试用a,b表示AD,AG.
,b不共线,OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,OE=e,设t∈R,如果3a=c,2b=d,e=t(a
+b),是否存在实数t使C,D,E三点在一条直线上?若存在,求出实数t的值,若不存在,请说明理由.