文档介绍：分段函数、函数的可积性与原函数存在性问题分析

摘要:在数学教学当中主要分为两部分教学内容,分别是函数和几何,由此我们可以这样说,函数内容占据着数学领域的半壁江山,在高等数学教学当中函数依然是非常重要的教学内容,特别是在关于函数的可积性与原函数的存在性关系上教师也曾反复多次强调二者并无联系,本文将主要讨论和分析分段函数、函数的可积性与原函数存在性的问题。
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关键词:分段函数;函数可积性;原函数;存在性问题
自从微积分概念出现以来,在某种程度上把不定积分也就是原函数与定积分即函数可积的概念相联系起来,因此很多数学初学者便想当然的认为原函数的存在性和函数的可积性之间有着紧密的关系,也就是原函数存在则函数具有可积性,反之函数具有可积性那么原函数必定存在,但是经过分段函数的研究证明,函数的可积性与原函数的存在性之间并无半点联系,更没有初学者所想的相互关系。
一、分段函数的概述
分段函数从字面上看就是分为好几段的函数,虽然它被分为好几段但是仍然属于一个整体,也就是说分段函数是一个函数,并不是好多个函数,在任何一个函数当中都有自变量x和与之相对应的值域y,而分段函数则是根据自变量具体数值的不同它的取值范围也不再固定,是会随着自变量的改变而改变,也就是说在分段函数中的每一段函数的定义域合并在一起才是整个分段函数的定义域,同样每一段函数的值域合并在一起才是整个分段函数的值域。因为分段函数的特殊性,可以对函数的奇偶性、单调性、最小正周期、函数的最大值、最小值包括自变量的范围等都可以展开具体的讨论,解决分段函数的方法有很多,常见的有待定系数法、公式法和数形结合法等等。
二、函数的可积性
(一)可积函数的定义
在积分函数当中,可积函数分为两种,一种是勒贝格积分,另外一种叫做黎曼可积,也就是我们所说的黎曼积分。简单来说就是指若函数f(x)在[a,b]上存在积分,那么我们便认为函数f(x)在[a,b]上可积,也就是说函数f(x)在[a,b]上具有可积性。
(二)可积函数的充分条件
在函数的可积性当中有三条非常重要的定理,第一条是如果f(x)在[a,b]上具有连续性,那么我们可以认为函数f(x)在区间[a,b]上具有可积性;第二条是如果函数f(x)在[a,b]只有有限个第一类间断点,并且零测度集是该类断点,并且f(x)在[a,b]有界,那么我们则认为该函数此时具有可积性;第三条是若函数f(x)在[a,b]上不仅有界同时还具有单调性,那么此时该函数同样具有可积性。
三、原函数存在性
(一)原函数的存在定理
假设函数f(x)在[a,b]上具有连续性,那么在该函数中一定存在原函数,这就是原函数的存在定理。但是连续性并不是原函数存在的必要条件,也就是说该条件不能反推回去,即函数f(x)中存在原函数,但是我们并不能够认为函数f(x)在区间[a,b]上一定具有连续性。在有定于的区间上初等函数基本上都具有存在性,因此我们可以这样认为,大部分初等函数在它的定义区间中存在原函数。
(二)间断点同原函数的存在性
根据前文提到假设函数f(x)在[a,b]上具有连续性,那么在该函数上必然有原函数存在,我们可以推导得出,假设函数f(x)在[a,b]上没有连续性