文档介绍：第三章一维定态问题
在本章,我们将用Schrödinger 方程来处理一类简单的问题——一维定态问题(一维无限深势阱,线性谐振子,势垒贯穿)。这样处理好处有四:
(1)有助于具体理解已学过的基本原理;
(2)有助于进一步阐明其他基本原理;
(3)处理一维问题,数学简单,从而能对结果进行细致讨论,量子体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来;
(4)一维问题还是处理各种复杂问题的基础。
§ 一维定态的一般性质
§ 方位势
§ 一维散射问题
§ δ势
§ 一维谐振子
本章内容主要包括:
§ 一维定态的一般性质
一、教学目标
1. 掌握一维运动波函数的共同特点。

3. 了解常碰到的两种势场。
二、教学内容
下面先讨论一维粒子的能量本征态的一些共同的特点。设粒子质量为m,沿x方向运动,势能为V(x),则Schrodinger方程表示为:
对于定态,即具有一定能量E的状态,波函数形式为
(3)
(1)
(2)
(4)
定理1 设是方程(3)的一个解,对应的能量本征值为E,则也是方程(3)的一个解,对应的能量也是E。
证明
取复共扼
得证
若对应于能量E,只有一个能量本证函数,则称能量E无简并,此时相应的能量本征函数总可以取为实函数。
定理2 对应于能量的某个本征值E,总可以找到方程(3)的一组实解,凡是属于E的任何解,均可表示为这一组实解的线性叠加。
证明
实解
实解集合
复解
得证
定理3 设V(x)具有空间反射不变性,V(-x)=V(x)。如是方程(3)的对应于能量本征值E的解,则也是方程(3)的对应于能量本征值E的解。
证明
得证
空间反射算符P定义为
按定理3,如V(-x)=V(x),则与都是对应于同一能量E的量子态。如果对应于某能量E,方程(3)的解无简并,则解必有确定的宇称。
偶宇称
奇宇称
则称波函数没有确定的宇称。
定理4 设V(-x)=V(x),则对应于任何一个能量本征值E,总可以找到方程(3)的一组解(每一个解都有确定的宇称),而属于能量本征值E的任何解,都可用它们来展开。
证明
得证
对于一维方势场,可证明下列定理:
定理5 对于阶梯方位势
有限,则能量本征函数及其导数必定是连续的(但如果,则定理不成立)。
在V(x)连续的区域,
连续
(11)
证明