《高等代数》.ppt

文档介绍：《高等代数》
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四川文理学院数学与财经系
§4 最大公因式
§5 因式分解
§6 重因式
§3 整除的概念
§2 一元多项式
§1 数域
§7 多项式函数
§9 有理系数多项式
§8 复、实系数多项式的因式分解
第一章多项式
一、数域
设P是由一些复数组成的集合,其中包括
数不为0)仍是P中的数,则称P为一个数域.
0与1,如果P中任意两个数的和、差、积、商(除
常见数域: 复数域C;实数域R;有理数域Q;
(注意:自然数集N及整数集Z都不是数域.)
定义
数域
说明:
1)若数集P中任意两个数作某一运算的结果仍在P
中,则说数集P对这个运算是封闭的.
2)数域的等价定义:如果一个包含0,1在内的数
集P对于加法,减法,乘法与除法(除数不为0)
是封闭的,则称集P为一个数域.
是一个数域.
:数集
证:
又对
设
则有
设
于是
也不为0.
或
矛盾)
(否则,若
则
于是有
为数域.
,证明:若P中任
意两个数的差与商(除数≠0)仍属于P,则P为一
一个数域.
有
证:由题设任取
所以,P是一个数域.
时,
时,
二、数域的性质定理
任意数域P都包括有理数域Q.
即,有理数域为最小数域.
证明: ,
于是有
进而有
而任意一个有理数可表成两个整数的商,
设P为非空数集,若
则称P为一个数环.
附:
例如,整数集Z 就作成一个数环.
数环