文档介绍：总复习(一)
知识间的关系:
研究对象:函数初等函数
研究方法:极限数列的极限
函数的极限
微
积连续一元函数连续
分多元函数连续
导数
一元函数
微分
微分学偏导数
研究内容多元函数
全微分
积分学不定积分二重积分
牛顿-莱不尼兹三重积分
定积分推广曲线积分
曲面积分

不定积分与定积分的比较
区别:
不定积分:全体原函数的集合
定积分:常数,曲边梯形面积的代数和
联系:

①定积分:曲边梯形的面积
②二重积分:曲顶柱体的体积
共同点:
它们都是一个常数,只与被积函数,积分区间(区域)有关,与积分变量的选取无关。
联系:二重积分转化成二次积分求解。
、全微分、极限的关系
(补充)注:二元函数可微所有的偏导数必存在,但偏导数不一定连续。
各种关系图:
极限偏导数存在
存在连续可微
偏导数连续

注:直角坐标与极坐标的选取规律:
由积分区域D的形状:成圈的
圆形、圆环、扇形、成近似圆形,近似环形,近似扇形。
:被积函数中含有,即,
,可分离变量的微分方程,一阶微分方程,二阶微分方程之间的关系。
(1)可分离变量的一阶微分方程
i)
ii)齐次微分方程
作变量代换
(2)一阶线性微分方程
形如
①一阶线性齐次微分方程(分离变量求解)
②一阶线性非齐次微分方程(常数变易法)
(3)二阶线性微分方程
①
两次积分
②③
作变量代换作变量代换

计算思路连接
无穷区间上广义积分
转化推广转化水平延伸:无穷区间
二重积分转化定积分推广有瑕玷的广义积分
利用利用转化纵向延伸:无界函数
对称性,几何意义转化
函数,区间(区域对称)
不定积分
定积分
(直接利用的条件:一般为闭区间上的连续函数。注意区别有瑕玷的广义积分)
①换元法:真的换元时,一定对应换上、下限。
②对称区间上奇、偶函数的利用
③区间的可加性
④可变上限的定积分的导数
可变上限函数本身在闭区间上的性质:
连续,有界,可积,可导。
i)利用下述公式求导数
ii)利用上述公式求极限
iii)利用上述公式求某些可变上限函数的极值,最值。
广义积分
①注意找出瑕玷:被积函数中分母=0且不能约分的点。注意瑕玷的处理。
②收敛性的判断:只有两个都收敛,广义积分才收敛。
③综合题会涉及含有参数的广义积分,收敛性讨论时,要对参数讨论。
二重积分:一条线原则(上下、左右、里外即从小到大)
特点:
1)最外层上下限:常数
2)里面一层上下限:可以有函数,是关于外层积分变量的函数;
3)两层积分限都是常数的充要条件:
直角坐标对应区域为水平放置的矩形;
极坐标中对应区域为以极点为圆心的圆;
①坐标系的选取:直角