文档介绍：常微分方程的概念与解法
北京大学数学系蒋定华
。
喘州叛分方程部分的概念比较少也比较简( 3) 一阶线性方程栋准形式为
, 。
单只有通解的概念比较难+ p ( x) ; 一。( : )
, 奥
对于通解定义要求大家了解: 所谓解的住万
,
,
一般形式就是包含有任意常数的解通解中其中齐次线性方程是可分离变量方程而非
。
。, 次方程可用数变易法求
应包括所有的解在求解的时候并不要求齐常解
。
,
大家证明确实包括了所有的解只须按照各( 4) 伯努利方程标准形状为
, .
{ / _ 、/ _ 、二。, _ 八, 、
。 d y D _ 。
“, ~ ,
种类型方程中的具体要求去做即可+ p ( x ) y 一。( x ) y ( “牛。 1 )
, 嚣
关于常微分方程的解法一阶方程的类。
: = y ’一“
, , 可做变换化成线性方程
型比较多要记住各种方程的标准形式把要。
, ( 5) 全微分方程标准形式为
的方程按标准式去化判断出属于一
解形哪, ,
P x y 己劣+ 劣 y d 犷= O
, 。( ) 口( )
类型再按照那种类型的去
种解法解.
一
。且可用求势函数或凑全微分的方
一’‘一’
我们所学过的一阶方程有以下几种“翠刃辈‘“‘一 I, 曰‘
舀习习y ~ ~ ~ 一”~ 认““
。
( 1) 可量方程准为。
分离变标形式法求
· 解
: g
一r ( ) ( ‘) ,
奥其中重点是可分离变量方程和一阶线
肠苏
。
, 。性方程
经变量再分即可出
分离积解.
1 Z a y x a : = O 。
。例求( 十护) 己十己今的通解
( 2 ) 齐次方程标准形式为
,
二 f 解这个方程虽然写成对称形式了但
业厂。
‘
江x \ 助劣/ 容易验证它并不是全微分方程
. ,
。
“一 d y Z y 劣_ n
可做变换化成可分离变量方程一
万了七州一一以
答 a X —X —a
,
尤其是二阶非齐次方程的待定系数法很繁
‘
级数。
象要耐心做完
.
3 二阶线性微分方程解题步骤
1) ;
, 写出特征方程并求出特征根
}, 灌“协叫
2) 写出相应齐次方程通解买
3 ) 根据方程右端即白由项及特征根设
水
一个特解今;
* , ,
4) 将夕代入原非齐次方程整理比较
定出系数;
。、
*
很重要熟练掌握可分离变量方程一阶线 5) 求出非齐次方程通解夕= 歹+ y ;
、
性微分方程二阶线性常系数齐次方程及特 6) ( 若需要) 由初始条件定任意常数;
。。
殊自由项方程的解法了解线性万程解的结 7) 得非齐次方程( 定解间题) 的特解
。,
构理论及微分方程的简单应用解微分方程
。
是线性一 Z n + ”勺
这方程-
苦肚= 二
2 社 1
先解相应的齐次线性方程+
2 舫+ 1 . 2 _
一
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