文档介绍：第一章导言
由于几何外形设计的要求越来越高,传统的曲线曲面表示方法,已不能满足用户的需求。1962年,,并用这种方法完成了一种称为UNISURF的曲线和曲面设计系统,1972年,该系统被投入了应用。Bezier方法将函数逼近同几何表示结合起来,使得设计师在计算机上就象使用作图工具一样得心应手.
区间Bezier 曲线是一种新形式的参数曲线,它能有效的描述系数误差。利用这种新的表示形式,可以在很大程度上克服CAD系统中的一些问题。把Bezier 曲线的升阶公式推广到区间Bezier 曲线, 证明了在不断升阶的过程中, 区间控制顶点的并集收敛到原区间Bezier 曲线. 这里的升阶公式可用于将低次的区间Bezier 曲线转换成高次形式, 并且升阶可以增加控制顶点的数目, 便于更加灵活地对这些区间曲线作形状控制. 由升阶公式和升阶的收敛性可得到一种简洁有效的区间Bezier 曲线的几何作图方法.
1971 年法国雷诺汽车公司的Bezier 提出一种由控制多边形设计曲线的新方法. 以这种方法威基础,完成了一种自由型曲线和曲面的设计系统UNISUR,1972年在雷诺汽车公司正式使用. 最初,Bezier 把参数n 次曲线表示为:
,
式中为特征多边形的首点点矢;,i=1,2,..,n为特征多边形各边矢量

这一定义非常奇特,令人难以理解. Forrest[1],Grodon 和Riesenfeld[2]对Bezier 方法作了深入的研究. Forrest 发现处理作为
Bezier 多边形边的相对矢量不如处理作为顶点的绝对矢量方便,并发现上述Bezier 基表示形式能被改写成现在广泛使用的用控制顶点i P 定义的Bernstein 基表示形式
式中
,
从70 年代中期开始,国内对Bezier 方法也作了大量的研究[3-5]. 这种方法不仅简单易用,而且漂亮地解决了整体形状控制问题. 设计人员只要移动控制顶点就可方便地修改曲线的形状,且形状的在预料之中. Bezier 方法在CAGD 学科中占有重要地位,它把曲线曲面的设计向前推进了一大步,为曲面造型的进一步发展奠定了坚实的基础.
第二章 Bezier曲线的定义和性质
定义
给定空间n+1个点的位置矢量Pi(i=0,1,2,…,n),则Bezier参数曲线上各点坐标的插值公式是:

    其中,Pi构成该Bezier曲线的特征多边形,Bi,n(t)是n次Bernstein基函数:

所示。
图三次Bezier曲线
Bernstein基函数的性质
(1)正性
(2)端点性质
(3)权性
由二项式定理可知:
(4)对称性
因为
(5)递推性。
即高一次的Bernstein基函数可由两个低一次的Bernstein调和函数线性组合而成。因为:
(6)导函数
(7)最大值
在处达到最大值。
(8)升阶公式
(9)积分
Bezier曲线的性质
(1)端点性质
曲线端点位置矢量
由Bernstein基函数的端点性质可以推得,当t=0时,P(0)=P0;当t=1时,P(1)=由此可见,Bezier曲线的起点、终点与相应的特征多边形的起点、终点重合。
切矢量
因为,其中,所以当时,,当时,,这说明Bezier曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形的第一条边及最后一条边的走向一致。
二阶导矢
当时,
当时,
上式表明:2阶导矢只与相邻的3个顶点有关,事实上,r阶导矢只与(r+1)个相邻点有关,与更远点无关。
将及代入曲率公式,可
得到Bezier曲线在端点的曲率分别为:
k阶导函数的差分表示
n次Bezier曲线的k阶导数可用差分公式为:
其中高阶向前差分矢量由低阶向前差分矢量递推地定义:
     = -
例如:
(2)对称性
由控制顶点,构造出的新Bezier曲线,与原Bezier曲线形状相同,走向相反。因为:
这个性质说明Bezier曲线在起点处有什么几何性质,在终点处也有相同的性质。
(3)凸包性
由于,且,这一结果说明当时,对某一个值,是特征多边形各顶顶点的加权平均,权因子依次是。在几何图形上,意味着Bezier曲线在中各点是控制点的凸线性组合,即曲线落在构成的凸包之中,。
Bezier曲线凸包性
(4)几何不变性。
   这是指某些几何特性不随坐标变换而变化的特性。Bezier曲线的位置与形状与其特征多边形顶点Pi(i=0,1,...,n)的位置有关,它不依赖坐标系的选择,即有