文档介绍：北京林业大学20 12 --20 13 学年第一学期考试试卷答案
课程名称: 高等数学(A) 课程所在学院: 理学院
一、填空题(每空2分,共20分)
1. 设,则= .
2. 0 .
3. 已知函数在处连续,则 1/e .
4. 当时,与是同阶(填同阶或等价)无穷小.
5. 函数的带皮亚诺余项的n阶麦克劳林公式为
.
6. d
7. 曲线拐点的横坐标为,则常数.
8. 0 .
9. 若,则.
10. 方程的通解是.
二、解答题(每题5分,共60分)

2. 已知,求常数.
解:
由可得,故
3. 设,求及.
解:
=
4. 设,求
解:把方程两边分别对求导,得(*)
故
由原方程可得,时,,将代入上式,即得
5. 求极限
解.
6. 设,其中在的某邻域内可导,且,求.
解:
7. 求不定积分解:
8. 求不定积分
解:
9. 求定积分
解:
10. 求反常积分解:
11. 求曲线,使其切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标.
解:切线方程为;当,
由题意可得:;即
通解是.
12. 求初值问题.
解:由题意,特征方程为,特征根为,
故对应齐次方程通解为;
不是特征方程的根,故可设原方程有特解,
解得,故原方程的通解为;
由得本题解为.
三、设在区间上连续,且,.
证明:(1); (2)方程在区间内有且仅有一个根.(5分).
证明:(1);
(2);
又,所以,从而方程在区间内有一个根.
又,是单调递增的,从而方程在区间内仅有一个根.
四、设在上连续,在内可导,且,证明在内存在一点,使(5分)
证明:令,则在上连续,在内可导,且因,则
即在上满足罗尔定理的条件,则至少存在使
又,即,即
五、设抛物线通过点,且当时,.试确定的值,使得该抛物线与直线所围图形的面积为4/9,且使该图形绕轴旋转而成的旋转体的体积最小. (10分)
解:由于设抛物线通过点,故.
且;即有;
于是且令.
得唯一驻点,进而. 所以,.