文档介绍：第六章插值/* Interpolation */
当精确函数 y = f(x) 非常复杂或未知时,在一系列节点 x0 … xn 处测得函数值 y0 = f(x0), … yn = f(xn),由此构造一个简单易算的近似函数 y(x) f(x),满足条件y(xi) = f(xi) (i = 0, … n)。这里的 y(x) 称为f(x) 的插值函数。最常用的插值函数是…?
多项式
x0
x1
x2
x3
x4
x
y(x) f(x)
1
设y(x) Mn ,则满足插值条件的y(x)存在且惟一.
证令
由插值条件,有线性方程组
其系数行列式为Vandermonde行列式
由Cramer法则,方程组存在一组惟一的解.
注:若不将多项式次数限制为 n ,则插值多项式不唯一。
例如也是一个插值多项式,其中可以是任意多项式。
2
§ 拉格朗日多项式/* Lagrange Polynomial */
n
i
y
x
y
i
i
n
,
...
,
0
,
)
(
=
=
求 n 次多项式使得
条件:无重合节点,即
n = 1
已知 x0 , x1 ; f(x0) , f(x1) ,求
使得
1
0
1
)
(
,
)
(
f(x1)
x
y
f(x0)
x
y
=
=
可见 y1(x) 是过( x0 , f(x0) ) 和( x1, f(x1) ) 两点的直线。
1
0
1
x
x
x
x
-
-
0
1
0
x
x
x
x
-
-
= f(x0)+ f(x1)
l0(x)
l1(x)
称为拉氏基函数/* Lagrange Basis */,
满足条件 li(xj)=ij /* Kronecker Delta */
)
(
1
x
y
+
=
f(x0)
0
1
x
x
)
(
0
x
x
-
-
f(x0)
f(x1)
-
=
=
1
0
)
(
i
i
x
l
f(xi)
3
几何意义如图所示
已知,
求的近似值.
解插值条件为
精确值=
4
n 2
li(x)
每个 li 有 n 个根 x0 … xi … xn
=
-
=
-
-
-
=
n
j
j i
j
i
n
i
i
i
x
x
C
x
x
x
x
x
x
C
x
l
0
0
)
(
)
)...(
)...(
(
)
(
-
=
=
j i
j
i
i
i
i
x
x
C
x
l
)
(
1
1
)
(
Lagrange Polynomial
与有关,而与无关
节点
f
n =2
教材108页
希望找到li(x),i = 0, …, n 使得 li(xj)=ij ;然后令
=
=
n
i
i
n
x
l
x
y
0
)
(
)
(
,则显然有yn(xi) = 。
f(xi)
f(xi)
5
已知,求的近似值.
解
二次插值多项式的几何意义如图
6
插值余项/* Remainder */
设节点
在[a , b]内存在, 考察截断误差
,且 f 满足条件,
Rolle’s Theorem: 若充分光滑, ,则
存在使得。
推广:若
使得
使得
存在
使得
Rn(x) 至少有个根
n+1
=
-
=
n
i
i
n
x
x
x
K
x
R
0
)
(
)
(
)
(
任意固定 x xi (i = 0, …, n), 考察
=
-
=
n
i
i
x
t
x
K
t
Rn
t
0
)
(
)
(
)
(
)
(
j
(t)有 n+2 个不同的根 x0 … xn x
!
)
1
(
)
(
)
(
)
1
(
+
-
+
n
x
K
R
n
n
x
注意这里是对 t 求导
=
+
-
-
+
+
!
)
1
)(
(
)
(
)
(
)
1
(
)
1
(
n
x
K
L
f
n
n
n
x
x
!
)
1
(<br