文档介绍：函数的极值与导数
问题:如图表示高台跳水运动员的高度随时间
变化的函数的图象
单调递增
单调递减
归纳: 函数在点处,在的附近,
当时,函数h(t)单调递增, ;
当时,函数h(t)单调递减, 。
探究
(3)在点附近, 的导数的符号有什么规律?
(1)函数在点的函数值与这些点附近的
函数值有什么关系?
(2)函数在点的导数值是多少?
(图一)
问题:
探究
(图一)
极大值f(b)
点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.
点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
极小值点、极大值点统称极值点,极大值和极小值统称为极值.
极小值f(a)
思考:极大值一定大于极小值吗?
(图二)
(1)极值是一个局部概念。由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小。
(2)函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不可能成为极值点。
归纳总结
,试找出函数的
极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点?
随堂练习
答:
x1,x3,x5,x6是函数y=f(x)的极值点,其中x1,x5是函
数y=f(x)的极大值点,x3,x6函数y=f(x)的极小值点。
导数值为0的点一定是函数的极值点吗?
导数值为0的点一定是函数的极值点吗?
是为可导函数的极值点的必要不充分条件。
x
y
O
y = x3
x
y
O
下面分两种情况讨论:
(1)当,即x>2,或x<-2时;
(2)当,即-2 < x<2时。
例4:求函数的极值.
解:∵
∴
当x变化时, 的变化情况如下表:
∴当x=-2时, f(x)的极大值为
令
解得x=2,或x=-2.
当x=2时, f(x)的极小值为
(4)检查在的根左,右两边值的符号,
如果左正右负(或左负右正),那么f(x)在这个根取得
极大值(或极小值)
归纳:求函数y=f(x)极值的方法是:
(1)确定函数的定义域
(2)求方程的全部解
(3)用的全部根顺次将函数的定义
域分成若干开区间,并列成表格.