文档介绍：函数的极值与导数
a
b
y=f(x)
x
o
y
y=f(x)
x
o
y
a
b
f '(x)>0
f '(x)<0
:一般地,设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内有导数,如果在这个区间内f/(x) >0,那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数;如果在这个区间内f/(x)<0,那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数.
一、知识回顾:
如果在某个区间内恒有,则为常数.

①求函数的定义域;
②求函数的导数 f/(x) ;
③解不等式 f/(x)>0 得f(x)的单调递增区间;
解不等式 f/(x)<0 得f(x)的单调递减区间.
关注用导数本质及其几何意义解决问题
: 观察下图,当t=t0时距水面的高度最大,那么函数 h(t)在此点的导数是多少呢?此点附近的图象有什么特点?相应地,导数的符号有什么变化规律?
二、新课讲解——函数的极值:
1. 观察右下图为函数y=2x3-6x2+7的图象,从图象我们可以看出下面的结论:
函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大,我们说f(0)是函数的一个极大值;函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小,我们说f(2)是函数的一个极小值。
x
2
y
0
o
a
X1
X2
X3
X4
b
a
x
y
如图,函数 y=f(x)在x1,x2,x3,x4等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?
Y=f(x)在这些点的导数值是多少?在这些点附近,y=f(x)的导数的符号有什么规律?
:
从而我们得出结论: 若x0满足 f/(x)=0,且在x0的两侧的导数异号,则x0是f(x)的极值点,f(x0)是极值,并且如果 f/(x) 在x0两侧满足“左正右负”,则x0是f(x)的极大值点,f(x0)是极大值;如果 f/(x) 在x0两侧满足“左负右正”,则x0是f(x)的极小值点,f(x0).
从曲线的切线角度看,曲线在极值点处切线的斜率为0,并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正.
o
a
X00
b
x
y
o
a
X0
b
x
y
如上左图所示,若x0是f(x)的极大值点,则x0两侧附近点的函数值必须小于f(x0) .因此, x0的左侧附近f(x)只能是增函数,即; x0的右侧附近f(x)只能是减函数,即
同理,如上右图所示,若x0是f(x)极小值点,则在x0的左侧附近f(x)只能是减函数,即;在x0的右侧附近只能是增函数,即.
三、例题选讲:
例1:求y=x3/3-4x+4的极值.
解:
令,解得x1=-2,x2=2.
当x变化时, ,y的变化情况如下表:
x
(-∞,-2)
-2
(-2,2)
2
(2,+∞)
y’
+
0
-
0
+
y
↗
极大值28/3
↘
极小值-4/3
↗
因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大值=28/3;
而,当x=2时有极小值,并且,y极小值=- 4/3.
:
导数值为0的点一定是函数的极值点吗?
可导函数的极值点一定是它导数为零的点,反之函数的导数为零的点,,函数y=x3,在点x=0处的导数为零,但它不是极值点,原因是函数在点x=0处左右两侧的导数都大于零.
因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件,其充分条件是在这点两侧的导数异号.