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第3章控制系统数学模型及其转换
随着系统规模的日益庞大,结构日益复杂,仅仅依靠人的经验及传统技术难以满足生产过程越来越高的要求。为避免不合理方案实施带来的风险和浪费,必须了解系统的结构及其内部发生的活动,从而达到对系统的正确的评价。设计、控制和优化系统,需要进行反复多次试验。试验的方法基本上分为两大类:一种是直接在真实系统上进行,另一种是先构造模型,通过对模型的试验来替代或部分替代对真实系统的试验。虽然,第一种方法在某些情况下仍然是必不可少的,但这种方式的弊端在于可能引进干扰而危害过程性能,同时在真实系统上实验,很难保证每一次操作条件都相同,因此难以对实验结果的优劣做出正确的判断和评价,另外还存在实验时间太长、费用太大或者太危险等原因,作为一种更安全、更可靠的替代办法是采用数学模型模拟、仿真系统过程静态和动态特性,因此,第二种方法日益为人们所青睐,系统数学模型的研究随之发展起来。
系统数学模型研究,可以进一步深刻认识系统内部和外部发生的现象,揭示其运动规律。在数学模型上做实验,可以不必考虑系统的安全性而施加任意外界激励信号,激发和识别系统的动态特性,进一步辨识其非线性、时变的本质。一旦得到描述过程动态特性的数学模型,基于系统模型实施控制策略,有望改善控制系统的性能,降低能耗,提高系统效率。
本章首先给出控制系统数学模型的分类,介绍控制系统常用的数学模型的描述形式。最后给出各种模型,如连续系统、离散系统、微分方程、传递函数、状态空间表达式等数学模型之间的转换、连接和MATLAB实现。
系统类型
系统是所研究的对象,模型是仿真的基础。根据系统中变量的取值变化,系统可分为连续时间系统和离散事件系统两大类。基于连续时间系统的仿真,时间上可以是连续的,也可以是离散的,但是系统中变量的取值[x(k)或x(t)]必须是连续变化的。离散事件系统中的变量只是在离散事件点上发生变化,而且这些离散事件一般是不确定的。
系统类型

根据系统自变量(时间)是连续变化还是离散变化,系统分为连续系统和离散系统。
(1) 连续系统——系统输入、输出信号都是连续时间信号。
(2) 离散系统——系统输入、输出信号都是离散时间信号。
(3) 混合系统——系统输入、输出信号包含连续信号和离散信号。
连续时间的数学模型用微分方程描述。离散时间系统的数学模型用差分方程描述。例如:一般L、R、C电路都是连续时间系统。数字计算机是典型的离散时间系统。实际上离散时间系统经常与连续时间系统组合运用,此时称为混合系统(或采样系统)。如自动控制系统和数字通信系统。
系统类型
二. 线性和非线性系统
根据输入输出关系是否同时满足齐次性和叠加性,系统分为线性和非线性。假设系统在没有外界信号作用之前处于静止状态,在输入信号
为任意实数,
和
或
和
作用下,有
式中,
为输入输出之间函数关系。那么,该系统称为线性系统,否则是非线性系统。
根据模型参数是否随时间变化,线性系统又可细分为线性定常系统和线性时变系统。参数不随时间变化的系统,称为时不变系统或定常系统,否则称为时变系统。
例如,线性定常系统:
系统类型
线性时变系统:
非线性定常系统:
式中,
分别为系统输入、输出。

系统类型
根据系统输入、输出和内部状态呈现的规律,系统分为确定性系统与随机性系统。输入输出之间函数关系能够用确定性模型描述的系统,称为确定性系统,否则称为随机系统(或不确定性系统)。在控制系统中,随机因素可能作用在系统的入口,也可能作用在系统的出口,还可能影响系统模型本身。例如噪声输入的随机控制系统,其微分方程具有如下形式。
式中,
分别为状态变量和输出变量,
为输入噪声,通常是正态分布的白噪声
控制系统常用数学模型
根据系统输入、输出与内部状态变量之间关系,控制系统模型可分为外部模型和内部模型。通常,把着眼于建立系统输入输出关系的数学模型称为外部模型,包括时域模型(微分方程、差分方程)和频域模型(S传递函数或Z传递函数)。着眼于建立系统输入、输出与内部状态变量之间关系的数学模型称为内部模型,相应的数学模型称为系统的状态空间方程(连续状态空间方程或离散状态空间方程)。。
控制系统模型分类
控制系统常用数学模型
一. 连续系统

一个连续系统可以表示成高阶微分方程,即
式中,
分别为系统输入量、输出量,n为系统的阶次,
为系统的
结构参数,
为输入函数的结构参数,它们
及各阶导数
的初始值为
均为实常数。
已知输出变量