文档介绍：第4章离散随机信号的特征描述 及其估计
引言
离散随机信号的特征描述
线性系统对平稳随机信号的响应
均值、方差、自相关函数的估计
引言
随机信号是一种非确定性的信号,如热噪声信号发生器
输出的电信号,飞行器起飞时的结构振动,以及起伏海面的
波动高度等。它们的共同特点是无法预测其未来瞬间的精确
值。处理的目的是便于从中提取有用的信息,削弱信号中的
多余信息量,便于估计信号的特征参数,或变换成易于分析
和识别的形式等。
随机信号处理的主要理论基础是信号检测理论、估计理
论和随机过程理论。根据理论分析,随机信号的不同样本函
数在同一时刻的值往往是不确定的,因而只能用样本函数集
的统计平均来描述,如用均值、均方值、方差、概率密度函
数、相关函数和功率谱密度函数来描述随机过程的特性。随
机信号处理就是利用信号的这些统计特征或信号本身导出一
套最佳的估计算法,然后利用软件或者硬件予以实现。下一
章所讲的维纳滤波器和卡尔曼滤波器就是根据最佳原理实现
的。
离散随机信号或序列,是指由随机变量按一定顺序排列
而成的时间序列,随机序列中的任何一个时间点上的取值都
是不能先验确定的随机变量。即离散随机信号可表示为
(4-1)
式中为随机变量,它可以是有限维的
也可以是无限维的。产生这些随机变量的过程称为随机过
程,简记为。
例如抛硬币就是一个随机过程,抛硬币的结果就是一个离
散随机序列。这个结果有两种状态,一种是正面朝上,
用表示,另一种是反面朝上,用表示。
连续抛掷,可以得到一个由+1和-1组成的序列如图4-1所
示。这个序列就是离散随机信号或序列。要注意的是如果重
新将抛掷硬币的过程进行一次,我们得到序列可能看起来与
图4-1所示的序列完全不同,所以我们每次得到的序列是这
个离散随机信号的一个样本序列。
离散随机信号的特征描述
实际中的很多随机过程是属于平稳随机过程。设是一
个平稳随机过程,则其随机序列在各点上的概率特性不随时
间平移而变化,而且是无始无终的。即随机变量的概率
特性对于任何时刻都是相同的,
对于一个无始无终的平稳随机信号,它的傅立叶变换是
不存在的,也就是说它的频谱是不存在的,我们只能求它的
功率谱。一个平稳随机信号的功率谱就是这个信号的自相关
函数的傅立叶变换。因此,我们就可用信号的功率谱来表征
它的谱特性。在本课程中我们所要讨论的随机序列都为平稳
随机序列。
各态历经性
随机过程的各个样本序列在某一时刻的各种平均特性,
称为集合平均。当样本数趋于无穷时,集合平均就趋于统计
平均;随即过程的某个样本序列在不同时刻的各种平均特
性,称为时间平均。
已知时刻随机变量的个取值的集合平均为
(4-2)
已知随机信号的一个样本序列,则其时间平均为
(4-3)
如果一个随机信号的时间平均等于过程的集合平均,则称随
机过程是各态历经的或各态遍历的。具体地说,如果有
则称为均值各态历经随机过程。
可见,对各态历经随机过程,可以用一个样本
序列的时间平均计算随机过程的集合平均。实际
上,对一个样本过程进行长时间统计比对许多样本
进行统计要容易实现。实际处理信号时,对已获得
的一个物理信号,先假设它是平稳的,再假设它是
各态历经的。对信号按此假设处理后,再用处理结
果来检验假设的正确性。各态历经的随机过程一定
是平稳随机过程,实际中常用的高斯白噪声,就是
平稳各态历经的。
离散随机信号的数字特征
一个离散随机序列在任何时间点上的取值(随机变量)
是不能先验确定的,但它一定具有一定的统计规律,可用其
统计平均特性来描述。例如抛硬币的所得到的离散序列,每
个时间点上的取值虽然不能预知,但我们知道取值出现+1
和-1的概率都为1/2。实际中要得知一个随机变量的概率分布
函数是比较困难的,我们往往只要知道概率分布的某些数字
特征就足够了。这些数字特征就是随机过程的矩,包括各阶
原点矩和各阶中心矩。对于实随机过程,各阶原点矩是指原
点差值各次方的均值,各阶中心矩是指与均值差值各次方的
均值。
平稳随机过程的主要数字特征包括以下几个:
(数学期望)
随机变量的均值可用表示
均值就是一阶原点矩,它是全部样本在同一时刻取值的集合平均。
随机变量的均方值为取值平方后的集合平均,是二阶原点矩。
随机变量的方差定义为
(4-4)
方差是二价中心矩,反映了与均值的偏离程度。方差可以用均值和均方值表示,根据上式有
即
(4-5)
设两个时间点和上的随即变量分别为和,自相关函数用表示
(4-6)
这里是时间间隔,上式也可表示为
(4-7)
自相关函数是二价联合原点矩,它反